КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Методические рекомендации 9 страница
или, направив ось z вдоль v: nzxny — Щупх = 0. (36,11) Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в § 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dhnt. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение n rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела —§6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе: в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой «малой поправкой» к термодинамическим величинам не- деформированного тела; в силу «теоремы о малых добавках» (см. V, § 15), будучи выражена через соответствующие термодинамические переменные (температуру или энтропию), она одина^ кова для свободной энергии и для внутренней энергии.
§ 37. Прямолинейные дисклинации в нематиках Равновесному состоянию нематической среды при заданных граничных условиях не обязательно соответствует всюду непрерывное распределение п (г), в котором вектор п имел бы в каждой точке вполне определенное направление. В механике нематиков необходимо рассматривать также и деформации с полями п (г), содержащими особые точки или особые линии, в которых направление п оказывается неопределенным. Линейные особенности называют дисклинациями. Рис. 27
Возможность возникновения дисклинации можно проиллюстрировать простыми примерами. Рассмотрим нематик в длинном цилиндрическом сосуде, причем граничные условия требуют перпендикулярности п поверхности сосуда. Естественно ожидать, что в равновесии вектор п в каждой точке будет лежать в плоскости поперечного сечения цилиндра и направлен по радиусу в этом сечении (как это изображено на рис. 27, а); очевидно, что на оси цилиндра направление п будет при этом неопределенным, так что эта ось будет дисклинацией. Если же граничные условия требуют параллельности направления п стенке сосуда в плоскостях его поперечного сечения, то установится распределение с векторами п, лежащими везде вдоль концентрических окружностей в этих плоскостях с центрами на оси цилиндра (рис. 27, б); и в этом случае направление п на оси будет неопределенным. Эти два примера — простые частные случаи прямолинейных дисклинации. Мы рассмотрим общую задачу о возможных распределениях п (г) в прямолинейных дисклинациях в неограниченной нематической среде. Очевидно, что распределение п (г) в такой дисклинации не зависит от координаты вдоль ее длины, так что достаточно рассматривать его в плоскостях, перпендикулярных оси дисклинации. Будем считать, что и сам вектор п лежит везде в этих плоскостях. Таким образом, мы имеем дело с плоской задачей механики нематиков. Некоторые общие свойства решения этой задачи могут быть выяснены уже из общих соображений, без рассмотрения конкретных уравнений равновесия. Введем цилиндрическую систему координат г, ц>, г с осью г вдоль оси дисклинации. Как уже отмечено, распределение п (г) не зависит от координаты г. Оно не "А ^ может зависеть также и от коорди-Ая^"^ наты г, поскольку в поставленной >6 задаче (дисклинация в неограниченной среде) нет никаких параметров с раз-мерностью длины, с помощью которых
Рис. 28 (каковой является п (г)) функция пе- ременной г. Таким образом, искомое распределение зависит только от угловой переменной: n = п (ср). Введем угол между п и радиус-вектором, проведенным в плоскости г = const в данную точку (рис. 28); компоненты двухмерного (в этой плоскости) вектора п: nr — cos «ф = sin ч>. Полярный угол ф отсчитывается от некоторого избранного направления в плоскости — полярной оси. Введем также угол д между п и полярной осью; очевидно, что 0 = ф + г|>. Искомое решение определяется функцией гр (ф). Оно должно удовлетворять условию физической однозначности — при изменении переменной ф на 2л (т. е. при обходе вокруг начала координат) вектор п должен остаться неизменным с точностью до знака {изменение знака допустимо ввиду физической эквивалентности направлений п и —п). Это значит, что должно быть О (Ф + 2л) = Ф (ф) + 2лл, где п — целое или полуцелое положительное или отрицательное число (значение п = О отвечает «недеформированному» состоянию n = const). Для функции -ф (ф) = ■б — ф имеем отсюда Ф (Ф + 2л) = 2л (п — 1) + ф (ф). (37,1) Число п называют индексом Франка дисклинации. Уравнение равновесия (которое будет выписано ниже) определяет производную dtyldy и имеет вид
его правая сторона не содержит независимой переменной ф — как следствие того, что уравнение должно быть инвариантно по отношению к любому повороту всей системы (нематика) как целого вокруг оси 2 (т. е. по отношению к преобразованию q> -*■ Ф + Фо); функция / (ijj) периодична с периодом я, поскольку значения f и ф -+- я физически тождественны. Отсюда
4> = jf(x)dx, (37,3) о где постоянная интегрирования выбрана так, что ф = 0 при <р = 0. Подставив это выражение в (37,1), найдем, что л f = -i-|/W^ = -^-r, (37,4) о при пф\ (черта означает усреднение по периоду функции). Отсюда можно сделать важное заключение о симметрии дисклинации: при повороте всей картины на угол ср0 = 2я/2 (п — 1) вокруг оси 2 углы ф меняются на я, т. е. все распределение остается неизменным. Действительно, с учетом периодичности функции / (ф) это преобразование приводит к тождеству ф-(-я i)j Ф + -^ГТ= | Hx)dx = \f{x)dx+ | f(x)dx = V + fn. о о м> Таким образом, в результате одного лишь требования однозначности ось z автоматически оказывается осью симметрии (Ст) порядка т = 2|п — 11, пф\. (37,5) «Линии тока» директора определяются как линии, в каждой точке которых элемент длины dt(dlr = dr, dlv = г d<f) параллелен п. Дифференциальное уравнение этих линий: dydlr = пф/пг, т. е. ■aftr-tg*. (37,6) Отсюда видно, в частности, что среди линий тока имеются прямолинейные, на которых \|з = рп (р — целое число). Эти линии представляют собой 21 п — 11 радиальных лучей Ф = Плоскость поперечного сечения дисклинации делится этими лучами на т одинаковых, повторяющих друг друга секторов. Перейдем к конкретному построению решения для нематика, энергия деформации которого дается формулой (36,1)х). Для плоского распределения имеем: div"= -т + "Г" = 4"cos* <[41]+ +')»
n rot n = О (t|>' = dty/dqi). В свободной энергии остаются только члены с Кг и К, [42] ): JFdrdrd<? =Щ«±j(j _acosЩ(1 + [43]),a=. Интеграл no dr логарифмически расходится. В реальных задачах он обрезается сверху на некоторой длине R порядка величины размеров образца. Снизу же интеграл обрезается на расстояниях порядка величины молекулярных размеров а, где перестает быть применимой макроскопическая теория. При определении интересующего нас решения на расстояниях а <^ г < R можно считать множитель г t dr. R L = -------- «In — J г а просто некоторой постоянной, так что равновесное распределение i|> (ф) определяется минимальностью функционала 2я J (1 -acos2\|;)(l +г|/[44])Лр = min. (37,8) о Уравнение Эйлера этой вариационной задачи: (1 — a cos 2г|з) ip" = a sin 2гр (1 — ф'[45]). (37,9) Оно имеет, прежде всего, два очевидных решения: гр = 0 (37,10) И гр = п/2. (37,11) Это — осесимметричные решения, которым отвечают соответственно рис. 27, а и рис. 27, б1). Эти решения однозначны, т. е. индекс Франка этих дисклинации п = 1 (ср. (37,1)). Для нахождения решений с пф \ замечаем, что уравнение (37,9) имеет первый интеграл2) (1 -acos2y)0|/2- 1) = const s -Д-- 1. (37,12) Отсюда находим решение в виде (37,3) с функцией и ч Г 1 — a cos 2ip "1 !/2... Константа q определяется условием (37,4) <»-■>* Г [ о (при этом должно быть |а|<72<1). Эти формулы определяют искомое решение. При каждом п решение единственно: поскольку левая часть условия (37,14)—монотонно возрастающая функция q, это равенство удовлетворяется лишь одним значением q. Функция f (х) четна; поэтому ср (ф) — нечетная функция. Это значит, что плоскость <р = 0 является плоскостью симметрии распределения; в силу существования оси симметрии Ст тем самым возникают еще т — 1 проходящих через ось г плоскостей симметрии. Наконец, плоскостью симметрии, очевидно, является плоскость 2 = 0. Таким образом, дисклинация с индексом и обладает полной симметрией точечной группы Dmft. При п — 2 из (37,14) очевидным образом следует, что (7=1, и соответствующее решение есть просто ф = ф = т. (37,15) Для выяснения качественного характера полученных решений исследуем поведение линий тока вблизи радиальных лучей Ф = Фр (37,7). На этих лучах \|з = рп, а вблизи них ф «рп и функция (37,13) сводится к постоянной: -&-/<*>«Ч1^Гв*- (37'16> Отсюда ф - пр «-j- (ф - фр). Дифференциальное уравнение линий тока принимает вид dq> s Y t — % ф — фр ' откуда находим для формы линий тока вблизи луча г = consb|tp —• фр|\ (37,17) Если ввести декартовы координаты с осью х вдоль луча, то вблизи последнего: г «х, ф — фр» ylx и уравнение линий тока записывается в виде # = const-jch-w. (37,18) Далее надо рассмотреть различные случаи. При п ^ 3/2 имеем п — 1 > 0, и из (37,14) очевидно, что q > 0, и потому К > 0. В этом случае линии тока выходят -из начала координат, касаясь луча. При п — 1/2 параметр q < 0, а с ним и МО. Численное исследование уравнения (37,14) показывает, что q2 > 1, а потому и \К\ > 1. Из (37,18) видно, что у растет вместе с х. Область вблизи начала координат нельзя рассмотреть этим способом, л = 5/2 л = 1/2 \\ П—1/2 - т=1. ГО-/ «Л ГП-3 { г\<У (с— ! i \ "---Гг. Рис. 29 так как, согласно (37,17), при X <; 0 малым значениям ф — фр отвечают большие значения г. Наконец, при п < 0 параметр —1 <g X <3 0 и, согласно (37,18), у-*-0 при дс->оо. Линии тока асимптотически прижимаются к лучу. На рис. 29 схематически показаны линии тока для дисклинации с п = 3/2, п = 1/2 и п = —1/2.
§ 38. Несингулярное осесимметричное решение уравнений равновесия нематиков Осесимметричные деформации (37,10—11) (см. рис. 27), представляющие дисклинации с индексом Франка п = 1, являются точными решениями уравнений равновесия нематической среды S 38) несингулярное осесимметричное решение 201
с заданными граничными условиями на стенках сосуда. Однако они не являются единственными решениями этих задач. Они единственны только в категории плоских решений. Если же отказаться от предположения о расположении векторов п везде в поперечных к оси сосуда плоскостях, то возможны и другие решения, причем не обладающие особенностью на оси. Так, если граничные условия требуют перпендикулярности п стенке, то линии тока директора в таком решении без особенности расположены в меридиональных плоскостях и имеют показанную на рис. 30 форму. Начинаясь на стенке нормально к ней, линии тока изгибаются, стремясь к оси г = 0, на которой, таким образом, направление п оказывается вполне определенным. Более того, мы увидим, что отсутствие особенности в таком решении приводит к его большей термодинамической выгодности (меньшей полной упругой свободной энергии) по сравнению с решением с особенностью на оси (P. Е. Cladis, М. Kleman, 1972). Приступим к построению этого решения.
Будем искать осесимметричное, однородное вдоль оси г решение в цилиндрических координатах г, ф, г в виде nt = cos % (г), пф = 0, пг = sin х (г) (38,1) (смысл угла х показан на рис. 30). Граничное условие на стенке: X = 0 при г = R (38,2) (R —- радиус цилиндрического сосуда), а на оси поставим условие X = я/2 при г = 0, (38,3)
отвечающее, как уже указано, отсутствию особенности. Имеем
dr divn = 1 d(rnT) r dr Свободная энергия деформации (на единицу длины вдоль оси г) дается интегралом j Fd2nrdr = Ini? = я J {(Kasln2x+/sC3cosax)x'2 + ^iCOSax-/<iSin2x-x'US. (38,4) где штрих означает дифференцирование по переменной I = = In г!). Первый интеграл уравнения равновесия (т. е. уравнения Эйлера вариационной задачи о минимуме функционала (38,4)): sin2 х + К, cos2 х) Х'2 - #i cos2х = const. (38,5) Согласно условию (38,3) должно быть % -*■ я/2 при £ -*■—со. Очевидно, что для этого должно быть %'• -*■ 0 при % -*■ я/2; поэтому const = 0, так что
ХUlSin2x + K,cos2X)1/2 ' Отсюда находим искомое решение, удовлетворяющее условию (38,2), в виде In — = -Д=- (1Ь«*х + К,и*У d (38i6)
В противоположность дисклинации (37,10) это решение не авто-модельно: в него входит размерный параметр длины R. Интеграл (38,6) выражается через элементарные функции. Выпишем ответ в предположении, что К8 > Кг'. г = г y^^-k'sbtjv i k arcsin sifl л (38,7) иг_ Ks—Ki u'%_ i __ *,ss _
При г 0 разность я/2 — х стремится к нулю пропорционально первой степени г, а линии тока приближаются к оси г по экспоненциальному закону г ~ exp (const*г). Для свободной энергии, связанной с этим решением, вычисление дает r J Fd2nr dr = я/Ci {2 + ~- arcsin. (38,8) о Отметим, что это выражение вообще не зависит от радиуса сосуда R. Энергия же дисклинации (рис. 27, а; решение (37,10)): я | Fd2nrdr = nKxL, (38,9)
х) Последний член в подынтегральном выражении несуществен для формулировки вариационной задачи, но нужен для вычисления полной свободной энергии. § 38] несингулярное осесимметричное решение 203
где L = In (R/a) — большой логарифм, происхождение которого связано именно с особенностью на оси. Мы видим, что решение без особенности энергетически более выгодно по сравнению с решением с особенностью (если только коэффициент Kj. не аномально мал). Поле п (г) рассмотренного здесь осесимметричного без особенности решения уравнений равновесия может быть получено из поля п (г) в дисклинации с п = 1 путем непрерывной (т. е. без возникновения каких-либо разрывов) деформации — постепенным выводим векторов п из плоскостей г — const. Это обстоятельство является проявлением весьма общей ситуации, которая будет выяснена в следующем параграфе.
Задачи 1. Найти осесимметричное решение уравнений равновесия нематической Решение. Ищем решение в виде пг = 0, = cos х (г), Пг = sin х М с граничными условиями Х(Д) = 0, х(0) = я/2. Имеем го!фп = —cosx-^-, rotzn = -^y^ —sinx-^-, divn = 0. Свободная энергия: J 2nrFd dr = n j {K2(sin X cos x — x')2 + #з cos4 x) dl. 0 — oo Первый интеграл уравнения равновесия: Ktf,'* - № sin2 х cos2 х + Кя cos* х) = 0. Интегрирование этого уравнения приводит к результату (полагаем Kg > К2).
# \Vl — № sin2 х + a' sin х При г -*■ 0 угол х -*■ я/2 по закону тг-*=2*'тг Свободная энергия этой деформации R | F$nr dr = пКг J2 -f- -~- arcsin k\, о между тем как свободная энергия плоской дисклинации рис. 27, б: nK^L. 2. Исследовать устойчивость дисклинации с индексом п = 1 относительно Решение, а) Невозмущенное поле радиальной дисклинации (рис. 27, а): яг «= 1 я<р = пг шв 0. Возмущенное же поле пишем в виде «, «= cos в cos ф да 1 i- (6а + фа), пф «я cos в sin ф я» ф, гег = sin 0 да 6, где углы в и ф — функции угловой координаты <р. Энергия, связанная с этим возмущением: j Far dr d(f = j {Д:,ф'2 + /(20'a + (/(8 _ /у фа _ д^а) d(p. Для общего исследования надо было бы положить СО 00 е(ф)- 2 9^"», ф(ф)= 2 ф/8(р и выразить энергию как функцию всех 64, Ф8. Но и без того сразу видно, что рассматриваемая дисклинации всегда неустойчива относительно возмущения В„ (член — Л]9§ в энергии). б) Невозмущенное поле циркулярной дисклинации (рио. 27, б): пг = пг == = 0, я,, = 1. Возмущенное поле записываем в виде п, = cos b cos (-j- + Ф^» — Ф, п% = cos ft sin + ф^ «1 — - ~ (в* -f- ф2), пг = sin е«е (определение угла ф изменено по сравнению с предыдущим случаем). Соответствующая энергия: j Fdr**-*-j{к*(в'а + ф'ь + ikx~к*}^ + iki~2кз)62}d<p- Наиболее «опасны» возмущения 6„ и ф0; условия устойчивости по отношению к этим возмущениям: Ki > Ks, Кг > 2К„. Полученное в тексте и в вадаче 1 утверждение, что свободная энергия деформации в дисклинациях с п = 1 превышае'1 энергию несингулярного осесимме-тричного решения означает лишь, что эти дисклинации могли бы быть в лучшем случае метастабильными. Теперь мы видим, что радиальная дисклинация вообще неустойчива, а циркулярная устойчива (относительно возмущений указанного вида) при соблюдении определенных соотношений между модулями. 3. Нематическая среда заполняет пространство между двумя параллельными плоскостями, причем граничные условия на одной плоскости требуют перпендикулярности, а на другой — параллельности директора поверхности. Определить равновесную конфигурацию п (г). Решение. Равновесная конфигурация будет, очевидно, плоской; выберем ее плоскость в качестве плоскости х, г с осью г перпендикулярной граничным плоскостям (плоскости z = 0 и г = к). Положим ««= sin % (г), n2 = cos х (г). Свободная энергия деформации: j Fa & = -y j {Kx sin» x + Kz cos* X} X'! a. Первый интеграл уравнения равновесии. (Дд sin2 х + Кг cos2 х) x'z «= откуда с учетом граничных условий | (Ki sin[46] х + Кг cos[47] х)1/2 d% = - J- J (Ki sfn[48] x + cos[49] x)1 /2 <*x. или
где E (x, fe) — эллиптический интеграл второго рода. § 39. Топологические свойства дисклинации Данное в § 37 определение индекса Франка было существенно связано с предположением о плоском характере деформации в дисклинации и однородностью вдоль ее длины. Покажем теперь, каким образом это понятие может быть введено в общем случае произвольных криволинейных дисклинации в нематической среде. Энергия нематика не меняется при одновременном произвольном повороте директора во всех его точках. В этом смысле можно сказать, что состояния нематика вырождены по направлениям директора; эти направления играют роль параметра вырождения. Введем понятие о пространстве вырождения — области допускаемого без изменения энергии изменения параметра вырождения. Им является в данном случае поверхность сферы единичного радиуса, каждая точка которой отвечает определенному направлению п. Надо однако учесть еще, что состояния нематика, отличающиеся изменением знака п физически тождественны. Другими словами, диаметрально противоположные точки на сфере физически эквивалентны. Таким образом, пространство вырождения нематика — сфера, на которой каждые две диаметрально противоположные точки считаются эквивалентными *). Представим себе, что мы производим в физическом объеме нематика обход вокруг расположенной в нем дисклинационной линии по некоторому замкнутому контуру (назовем его контуром у). Будем следить при этом обходе за направлением вектора п. Изображающая его точка в пространстве вырождения — на сфере — опишет некоторый тоже замкнутый контур (назовем его контуром Г). Здесь надо различать два случая. В одном из них контур Г замкнут в буквальном смысле. Возвращаясь в исходное положение, изображающая точка описывает некоторое целое число п петель (так, для контуров Г\ и Га на рис. 31 это число равно 1 и 2). Это число и является целочисленным индексом Франка.
В другом случае контур Г, выйдя из некоторой точки на сфере, заканчивается в диаметрально противоположной точке. Такойконтур тоже должен рассматриваться как «замкнутый» ввиду эквивалентности диаметрально противоположных точек. Индекс Франка определяется как полуцелое «число петель», описываемых при этом изображающей точкой (так, для полуокружности Г1/2 это число п — 1/2). Любой замкнутый контур на поверхности сферы может быть превращен в любой другой замкнутый контур путем непрерывной (т. е. без разрыва контура) деформации. Более того, любой замкнутый контур может быть непрерывным образом стянут в точку [50]). Также могут быть превращены друг в друга любые контуры, начинающиеся и кончающиеся в диаметрально противоположных точках сферы. Такие контуры, однако, не могут быть стянуты в точку: при деформировании концы контура могут смещаться, но лишь оставаясь при этом на концах какого-либо диаметра сферы. Таким образом, индекс Франка не факт его цело- или полуцелочисленности. Из сказанного следует, что все дисклинации в нематической среде распадаются на две категории, в каждой из которых все дисклинации топологически эквивалентны — могут быть переведены друг в друга путем непрерывного деформирования поля п (г) (С. И. Анисимов, И. Е. Дзялошинской, 1972). Одну категорию составляют дисклинации с целыми индексами Франка; эти дисклинации к тому же топологически неустойчивы — они могут быть вообще устранены путем непрерывного деформирования. Дисклинации целого индекса может заканчиваться в объеме нематика. Другую категорию составляют дисклинации с полуцелыми индексами. Эти дисклинации неустранимы, они топологически устойчивы. Вопрос о том, какая из топологически эквивалентных структур должна фактически осуществиться в тех или иных заданных условиях, зависит от относительной термодинамической выгодности этих структур. Это задача выходит за рамки топологического анализа. Наряду с линейными особенностями, дисклинациями, в нематической среде могут существовать также и точечные особенности. Простейший пример такой особенности — точка, из которой торчат векторы п во все стороны («еж»). $ 39] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИСКЛИНАЦИИ 207
Для выяснения топологической классификации точечных особенностей снова обратимся к отображениям в пространстве вырождения на единичную сферу. Выберем в заполненном немати-ком физическом пространстве две точки А и В, соединенные некоторым контуром Y, окружающим особую точку 0, как показано на рис. 32. На единичной сфере контуру у отвечает определенный контур Г. Будем теперь вращать контур у вокруг прямой АВ. После полного оборота, когда контур совместится сам с собой, он опишет в физическом пространстве замкнутую поверхность а. Ее отображение 2, описываемое контуром Г, покроет единичную сферу, возможно, более чем один раз. Число N покрытий единичной сферы отображением 2 является топологической характеристикой особой точки. Отображение 2 можно представить себе как натянутую на сферу замкнутую пленку; очевидйо, что ее никак нельзя (не производя на ней каких-либо разрезов) стянуть в точку. Этим выражается неустранимость особенности. Если N = 0, то пленка вообще не охватывает сферу. Это отвечает отсутствию особенности или ее устранимости — такую пленку можно стянуть в точку. Для особых точек в нематике знак N не имеет смысла: его изменение означает лишь изменение направлений п во всем пространстве на обратные, что не отражается на состоянии нематика. Число Л/, характеризующее точечную особенность, может быть только целым. Легко видеть, что полуцелое N означало бы в действительности существование неустранимой линейной, а не точечной особенности. Так, если 2 покрывает половину сферы (N = 1/2), то это значит, что, проследив за какой-либо одной точкой на у> мы найдем, что ее отображение описывает на сфере контур вида Г1/2 (рис. 31), что свидетельствовало бы о наличии неустранимой дисклинации с индексом Франка п=1/2[51]). В связи с обсуждением топологических свойств особенностей в нематиках остановимся кратко на топологическом истолковании дислокаций — особых линий в кристаллических решетках. Представим себе неограниченную кристаллическую решетку и введем оси хъ х%, х3, направленные вдоль трех основных периодов решетки; величины этих периодов пусть будут alt а2, ая- Энергия решетки не меняется при ее параллельных сдвигах на любые расстояния вдоль осей хъ хг, хв. Области изменения параметров вырождения (величин сдвигов) — отрезки длины аъ оа, а3, причем у каждого отрезка обе его концевые точки рассматриваются как эквивалентные (поскольку сдвиг на период совмещает решетку саму с собой, т. е. оставляет состояние решетки тождественно неизменным). Отрезок с экивалентными концами топологически совпадает с окружностью. Таким образом, пространство вырождения кристаллической решетки представляет собой трехмерную область, построенную на трех окружностях. Эту область можно представить себе как куб, противоположные грани которого попарно эквивалентны, или, что то же самое, как трехмерную поверхность тора в четырехмерном пространстве1). На таком торе существуют не стягиваемые в точку контуры Г, каждый из которых характеризуется тремя целочисленными топологическими инвариантами nlt п2, п3 — числами обходов трех образующих тор окружностей. Если контур Г — образ контура у, обходящего в физическом пространстве особую линию (дислокацию), то три его инварианта совпадают с тремя компонентами вектора Бюргерса (измеренными в единицах соответствующих периодов аъ а2, ая). Таким образом, дислокации —топологически устойчивые неустранимые особые линии, а их векторы Бюргерса —топологические инварианты.
Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 379; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |