Методические рекомендации 5 страница

Мз_Р(1-о*)р-, (ад

Таким образом, скорость распространения волн изгиба по пластин­ке пропорциональна волновому вектору, а не постоянна, как для волн в неограниченной трехмерной среде *).

Аналогичные результаты справедливы и для волн изгиба тон­ких стержней; колебания изгиба предполагаются малыми. Урав­нения движения получим, заменив в уравнениях равновесия слабо изогнутого стержня (20,4) силы —К_х, —К_у произведениями уско­рений X, Y на массу pS единицы длины стержня (S — площадь его сечения). Таким образом,

pSX = ₉SY = EI_X^. (25,10)

Решение этих уравнений снова ищем в виде

X = const-ё <**-<оо, Y = const -е ^[3] (**-«><>, и находим следующий закон дисперсии!

со«> = (-f^)^I/2^> = (-f^)'"*' (25,11)

для колебаний вдоль осей х и у. Соответствующие скорости рас­пространения:

£/<*> = 2 (^-)^I/2 k, UW = 2 (^-)^1/2 ft. (25,12)

Наконец, рассмотрим крутильные колебания стержня. Урав­нение движения стержня, подвергаемого деформации кручения, получается-приравниванием выражения Сдх/dz (см. § 16, 18) про­изводной по времени от момента импульса единицы длины стержня. Этот момент равен р/ ду/dt, где dq>/dt — угловая скорость враще­ния (ф — угол поворота данного сечения), а

— момент инерции сечения стержня относительно его центра инер­ции (при чисто крутильных колебаниях каждое сечение совершает вращательные колебания вокруг оси инерции стержня, остаю­щейся неподвижной). Написав <с = дф/дг, находим уравнение движения в виде

^сФ=р'^- (ад

Отсюда видно, что скорость распространения крутильных коле­баний вдоль стержня равна

(С/р/)¹/². (25,14)

Задачи

1. Определить частоты продольных собственных колебаний стержня (дли-
ны I), один из концов которого закреплен, а другой — свободен.

Решение. На закрепленном конце (г = 0) должно быть и_г = 0, а на свободном конце (г = I) a_zz = Eu_zz = 0, т. е. ди_г1дг= 0, Ищем решение урав­нения (25,1) в виде

u_z = A cos (со/ -f- сг) sin кг, k = со (р/£)^1/2. Из условия при г = I имеем cos kl = 0, откуда для собственных частот находим

"(f)^u,S-*+»

(я — целые числа).

2. То же для стержня, оба конца которого свободны или оба закреплены,
Решение. В обоих случаях

/ Е \1/2 п

^а={т) -^п-

3. Определить частоты собственных колебаний струны (длины /).
Решение. Уравнение движения струны:

д*Х pS д*Х дг* Т dt*

(ср. уравнение равновесия (20,17)). Граничные условия: Х=0 при г=0, I, Собственные частоты:

/ pS \i/2 пп

4. Определить частоты поперечных собственных колебаний стержня qwh?
ны Л с заделанными концами.

Решение. Уравнение (25,10) при подстановке в него

X = Х₀ (г) cos (со/ + а)

приобретает вид

dz* ~" Е1_и

Общий интеграл этого уравнения есть

Х₀ = A cos кг + В sin xz -f- С ch xz -f- D sh xz.

Постоянные Л, В, С, D определяются из граничных условий X — О, dX/dz = О при z = 0, /. В результате находим

Х₀ = A {(sin и/ — sh xl) (cos kz — ch xz) — (cos xf — ch xl) (sin xz — sh xz)}

и уравнение

cos xl ch x/ = 1,

корни которого определяют собственные частоты колебаний. Наименьшая из собственных частот равна

_ 22,4 Е1_У tOmin-—j5--j5g-»

5. То же для стержня с опертыми концами. Решение аналогично решению задачи 4. Результат:

X_Q = Л sin хг, а частоты определяются из sin х/ = 0, т. е.

х =— (п=1, 2,...).

^min ^:

Наименьшая частота есть

9,87 E/_g

I² pS

6. То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного на другом.
Решение, Получаем для смещения

Х₀ = A {(cos xl -f ch xl) (cos xz — ch xz) + (sin xl — sh x/) (sin xz — sh xz)J

(закрепленный конец z = 0, свободный z = l), и уравнение

cos х/ ch xl + 1 = О

для собственных частот. Наименьшая частота есть

3,52 Ely <Отш--р pg-.

7. Определить собственные колебания прямоугольной 'пластинки (длины
сторон а и Ь) с опертыми краями.

Решение, Уравнение (25,6) при подстановке в него

£ = £о (х, у) cos (co< -f- а)

приобретает вид

12р(1 — а²)

ДД£о — x⁴?₀ = 0_s х» = со²

Выбираем оси координат по сторонам пластинки, Граничные условия (12,11) приобретают вид

8*1

при х=0, а: £ = О, -^§- = 0;

при у = 0, Ь: £ = 0, -^=0.

Удовлетворяющее этим условиям решение есть

„.. тлх. плу
£о = A sin--------- sin-

а, Ь

со =

(т, п — целые числа), причем частоты определяются равенством

Eh

12р (1 — о²)

8. Определить собственные частоты колебаний мембраны прямоугольной формы (с длинами сторон а и ft).

Решение. Уравнение колебаний мембраны

Т Д£ = pftjj

(ср. уравнение равновесия (14,9)). Края мембраны должны быть закреплены так, что £ = 0. Соответствующее решение для прямоугольной мембраны есть

_v.. тлх. плу,

£ = A sin sin —г²- cos ш,

где собственные частоты

. Т, / т^а ■ л² \

ph

(m, п — целые числа).

9. Определить скорость распространения крутильных колебаний по стерж­ням с сечением в виде круга, эллипса и равностороннего треугольника и по стержню, имеющему вид длинной прямоугольной тонкой пластинки.

Решение. Для кругового сечения (радиуса R) момент инерции / = = nR*/2; взяв С из задачи 1 § 16, получим для скорости значение (р-/р)^1/2, совпа­дающее СО СКОРОСТЬЮ Cf.

Аналогично (используя результаты задач 2—4 § 16) получаем для стержня эллиптического сечения скорость

lab d' + b* ^Ct'

для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника

3 V/2

/ 3 у/2

для стержня в виде длинной прямоугольной пластинки

Все эти скорости меньше cj,

10. Поверхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектором и частотой для волн, одновременно распространяющихся по пластинке и в поверх­ностном слое жидкости,

Решение. Выбираем плоскость пластинки в качестве плоскости г = О, а ось х выбираем вдоль направления распространения волны; области жидкости пусть соответствуют г< 0. Уравнение движения свободной пластинки есть

(р₀ — плотность материала пластинки). При наличии жидкости к правой сторрне этого уравнения надо прибавить силу, действующую со стороны жидкости на 1 см² поверхности пластинки, т. е. давление р жидкости. Но давление в волне выражается через потенциал скорости посредством р = —р ду/dt (полем тяже­сти пренебрегаем). Поэтому получаем уравнение

. д\ _п д% 3_Ф

2=0

Далее, нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластинки, откуда получаем условие

dt дг

<²>

г=0

Потенциал ф должен удовлетворять во всем объеме жидкости уравнению

^L^-^L-O. (3)

дх* ' дг*

Ищем £ в виде бегущей ролны £ = ^е^{кх'^ш; соответственно этому берем ре шение уравнения (3) в виде затухающей в глубь жидкости поверхностной волны

Подстановка этих выражений в (1) и (2) приводит к двум уравнениям для ф₀ и So, из условия совместности которых получаем

D

(Р + hp₀k)

§ 26. Ангармонические колебания

Вся изложенная теория упругих колебаний является прибли­женной в том же смысле, в*каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка вклю­чительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформа­ции, и уравнения движения — линейны.

Наиболее характерной особенностью упругих волн в этом при­ближении является то, что всякую волну можно представить в виде простого наложения, т.е. в виде линейной комбинации отдельных монохроматических волн. Каждая из этих монохрома­тических волн распространяется независимо от остальных и мо­жет существовать также и сама по себе, не сопровождаясь какими-либо посторонними движениями. Можно сказать, что различные монохроматические волны, одновременно распространяющиеся в одной и той же среде, «не взаимодействуют» друг с другом.

Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и яв­ляются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническими в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений.

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего по-
рядка, происходящие от кубических по деформации членов в упру-
гой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения
оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возни-
кающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений.
Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены
в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Пред-
ставим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены
в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая
эти уравнения методом последовательных приближений, мы
должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные
члены. Тогда останутся обычные линейные, уравнения, решение
и₀ которых может быть представлено в виде наложения монохро-
матических бегущих волн вида const-t?'^(kr_t0/) с определенными со-
отношениями между со и к. Переходя к следующему, второму,
приближению, надо положить u = и₀ -f- и_ь причем в правой сто-
роне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только
члены с и₀. Поскольку и₀ удовлетворяет, по определению, однород-
ным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне
равенств члены с и₀ взаимно сокращаются. В результате мы полу-
чим для компонент вектора а₁ систему неоднородных линейных
уравнений, в правой части которых стоят заданные функции коор-
динат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой и₀
в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму
членов, каждый из которых пропорционален множителю вида
_е> r-(b>.-o>₂WL илие'1(^к>^+к*>^г-<^ш'-^но*>'], где со_ь ю₂ и к₁₍ к₂ —ча-

стоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения.

Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспоненциаль­ными множителями, какие стоят в свободных членах (правых сто­ронах) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэф­фициентами. Каждый из этих членов соответствует бегущей волне с частотой а>₁ ± со₂ и волновым вектором k_x ± к₂ (частоты, рав­ные сумме или разности частот исходных волн, называют комбина­ционными).

Таким образом, эффекты ангармоничности третьего порядка приводят к тому, что на совокупность основных монохроматиче­ских волн (с частотами ш₁₍ со₂. ••• и волновыми векторами k_t, k₂,...) налагаются некоторые «волны» слабой интенсивности с ком­бинационными частотами вида со_х ± со₂ и волновыми векторами

к, ± к_г. Мы говорим здесь о них как о «волнах» в кавычках, имея в виду, что они представляют собой некоторый поправочный эф­фект и не могут существовать сами по себе (за исключением неко­торых особых случаев; см. ниже). Между ю_х ± ю₂ и к_г ± к₂ не удовлетворяются, вообще говоря, те соотношения, которые цмеют место для частот и волновых векторов в обычных монохроматиче­ских волнах.

Ясно, однако, что возможны и такие специальные подборы зна­чений ©_ь kj и со₂, k₂, при которых между ю_х -f- ©₂ и. k, -f- k_s (бу­дем говорить для определенности о суммах, а не о разностях) будет выполняться одно из тех соотношений, которые должны иметь место для монохроматических волн в данной среде. Вводя обозначения о>₃ = о)_х -f- ci)₂, k₃ = k_t -f k₂, мы можем сказать с ма­тематической точки зрения, что ю₃, к₃ соответствуют в этих слу­чаях волнам, удовлетворяющим однородным линейным уравне­ниям движения (без правой части) первого<приближения. Если в правой стороне уравнений движения второго приближения имеются члены, пропорциональные е¹ (^к'^г-®'*) с такими ©₃, к_я, то, как известно, частный интеграл этих уравнений будет представлять собой волну этой частоты с амплитудой, неограниченно возраста­ющей со временем.

"Таким образом, наложение двух монохроматических волн со_ь kj и со₂, к₂, для которых суммы со₃, к₃ удовлетворяют указанному условию, приводит в результате эффекта ангармоничности к яв­лению резонанса — возникает новая настоящая монохроматиче­ская волна ©з, к₃, амплитуда которой возрастает со временем и в конце концов перестает быть малой. Очевидно, что если при нало­жении волн,©_ь ki и ©_а, к₂ возникает волна <в₃, к₃, то при наложе­нии волн ©j, к_х и ©з, к₃ тоже будет иметь место резонанс и возни­кает волна т., = ©₃ — ю₁₍ k₂ = k₃ — к_ь а при наложении волн ©₂, к₂ и со₃, к₃ возникает волна <а_1г к_г.

В частности, в изотропном теле © связано с к посредством © = c_tk или © = c_tk, причем с_г £> c_t. Легко видеть, в каких слу­чаях возможно выполнение какого-либо из этих соотношений для каждой из трех волн: ©_ъ к_х; ©₂, к₂ и ю₃ = ©л -j- ©₂, к₃ — = к_х -f- к₂. Если к_х и к₂ не совпадают по направлению, то k₃ < < *i 4- к₂; ясно поэтому, что при таких к,, к₂ резонанс возможен лишь в следующих двух случаях: 1) волны ©_ь к_х и ©₂. ^2 попе­речны, а волна ©₃, к₈ продольна; 2) одна из волн ©_ь к_х или ш₂, к₂ продольна, другая поперечна, а волна ©₃, к₃ продольна. Если же векторы kj и к₂ имеют одинаковое направление, то резонанс воз­можен в случаях, когда все три волны продольны или все три по­перечны.

Эффект ангармоничности с явлением резонанса возникает не только при наложении нескольких монохроматических волн, но и при наличии всего одной только волны ©_х; к_г. В этом случае в пра­вой стороне уравнений движения имеются члены, пропорцио-

§ 26]

ангармонические колебания

нальные е²' <^к«^г-^ш1'>. Но если для а_и к_х удовлетворяется обычное соотношение, то (в силу однородности первого порядка этого соот­ношения) оно удовлетворяется и для 2а_и 2к_±. Таким образом, эффект ангармоничности приводит к появлению наряду 6 каж­дой из имеющихся монохроматических волн и_ь к_} также и волны 2со_ъ 2к_г с удвоенными частотой и волновым вектором, причем ам­плитуда этой волны растет со временем.

Наконец, остановимся коротко на том, каким образом могут быть составлены уравнения движения е учетом ангармонических членов. Тензор деформации должен определяться теперь полным выражением (1,3)

^и* = Т\^+-Ъ1^⁺-дхТ-дх7)> W>

в котором нельзя пренебречь квадратичными по щ членами. Да­лее, общее выражение для плотности энергии &^[4]) для тел с данной симметрией должно быть написано как скаляр, составленный из компонент тензора ы_г* и некоторых характерных для вещества тела постоянных тензоров, содержащих члены до желаемой степени по Подставляя затем выражение (26,1) для и_ш и отбрасывая члены слишком высоких порядков по щ, получим энергию & как функцию производных дщ}дх_к с желаемой степенью точности.

Для того чтобы получить уравнения движения, заметим сле­дующее. Вариация бсУ может быть написана в виде

\ dxk I

или, вводя обозначение!

^ст»⁼ д(дщ!дх_к) ' (^2б'²>

переписываем бсУ следующим образом!

№ = °ш -тег = л?Г (°л ^8ut) ~ ^out -°^ift

dx_k - dx_h ^K"^lh ™^[5]> дх_к '

Коэффициенты при — 6щ представляют собой компоненты силы, от-отнесенной к единице объема тела. Они имеют формально преж­ний вид, и потому уравнения движения могут быть написаны по-прежнему в виде

е°^й' = ЧхТ' <^26,3)

где р₀ — плотность недеформированного тела, а компоненты тен­зора a_ih определяются теперь, согласно (26,2), с 8, написанным с желаемой степенью точности. Тензор o_ih теперь не симметричен.

Подчеркнем, что a_ik не имеет теперь смысла плотности потока импульса (тензора напряжений). В обычной теории такое истол­кование получалось в результате интегрирования плотности объемной силы da_ihldx_h по объему тела. При этом существенно, что при интегрировании мы не делали различия между координа­тами точек тела до и после деформирования, пренебрегая разницей между ними. Однако при переходе к следующим приближениям такое пренебрежение становится невозможным, и поверхность, ограничивающая область интегрирования, не совпадает с реаль­ной поверхностью рассматриваемого участка тела после его дефор­мирования.

В § 2 было показано, что симметричность тензора a_ih связана с сохранением момента импульса. Теперь этот результат не имеет места в связи с тем, что плотность момента импульса должна запи­сываться не в виде *j«_ft — x_hu_t, а как

+ "h — (*ft+ •

задача

Написать общее выражение для упругой энергии изотропного тела в третьем приближении.

Решение. Из компонент симметрического тензора второго ранга можно составить два квадратичных скаляра (u|_ft и 1ф) и три кубических (u^s_lt, u_utf_kt Uik^uH^uki)- Поэтому наиболее общий вид скалярного выражения, содержащего члены второй и третьей степеней по Ujfc со скалярными же (изотропное тело!) коэффициентами, есть

8 -{«4+(-j"--j) ⁺Т"^uik^uu^uki+^Bu\k^au+X

(коэффициенты при и|_йии^г_г выражены через модули сжатия и сдвига; А, В, С — три новые постоянные). Подставляя сюда выражение (26,1) для щъ и остав­ляя члены до третьего порядка включительно, получим упругую энергию в виде

(1 / dUt du_k \2 / К (1 \ / дщ \2

^--т\-дхт⁺-дкт) +V"2-~TJ(-o>r; +

/ А \ дщ дщ дщ (В + К ц\ дщ I дщ у
V^й"*" 4) dx_k dx_t дх_к~*~\ 2 3) dxi \ dx_k }

А дщ du_h дщ В дщ du_k дщ С_ /, дщ \з ⁺ 12~1)х^1^1^ ⁺ ~1^1^1^ ⁺ 1Г\1Щ~) *

ГЛАВА IV

ДИСЛОКАЦИИ¹)

§ 27, Упругие деформации при наличии дислокации

Упругие деформации в кристалле могут быть связаны не только
g воздействием на него внешних сил, но и с наличием в нем вну-
тренних дефектов структуры. Основным видом таких дефектов,
существенных для механических свойств кристаллов, являются
так называемые дислокации. Изучение свойств дислокаций с ато-
марной, микроскопической точки зре-.„
ния не входит, разумеется, в план j
этой книги; мы рассмотрим здесь лишь • +
чисто макроскопические аспекты этого
явления с точки зрения теории упру-

гости. Однако для лучшего уяснения _•__•_.!_ *_L_*_.!_.!_.!.________

физического смысла излагаемых соот-...................................................... ё

ношений предварительно напомним на........................................................

двух простых примерах, в чем заклю-......................................................

чается характер дислокационных де-....................................................

фектов с точки зрения структуры кри-
сталлической решетки. Рис. 22

Представим себе, что в кристал­лическую решетку (разрез которой

изображен на рис. 22) вдвинута «лишняя» кристаллическая полуплоскость (совпадающая на рисунке с верхней полу­плоскостью у, г). Линия края этой полуплоскости (перпендику­лярная плоскости рисунка ось г) называется в этом случае краевой дислокацией. Искажение структуры решетки в непосредственной близости к дислокации велико, но уже на расстояниях порядка нескольких периодов кристаллические плоскости смыкаются друг с другом почти правильным образом. Деформация существует, однако, и вдали от дислокации. Она ясно обнаруживается при обходе в плоскости х, у по узлам решетки вдоль замкнутого кон­тура вокруг начала координат: если определять вектором и сме­щение каждого узла от его положения в идеальной решетке, то полное приращение этого вектора при обходе будет отлично от нуля и равно одному периоду вдоль оси х.

Другой тип дислокации можно наглядно представить себе как результат «разреза» решетки- по полуплоскости, после чего части

^J) Эта глава написана совместно с А. М, Косевичем

решетки по обе стороны разреза сдвигаются относительно друг друга на один период параллельно краю разреза (который назы­вается в этом случае винтовой дислокацией). Наличие такой дисло­кации превращает кристаллические плоскости в решетке в гели­коидальную поверхность (подобную винтовой лестнице без ступенек). При полном обходе вокруг линии дислокаций" (ось геликоидальной поверхности) вектор смещения узлов получает приращение на один период параллельно этой оси. На рис. 23 изображена схема описанного разреза.

С макроскопической точки зрения дислокационная деформа­ция кристалла как сплошной среды обладает в общем случае сле­дующим свойством! при обходе по любому замкнутому контуру L,

кристалла (ср. ниже примечание на стр. 152). Она должна выходить обоими концами на поверхность кристалла либо (как это обычно и бывает в реальных условиях) представлять собой замкнутую петлю.

Условие (27,1) означает, другими словами, что при наличии дислокации вектор смещения является неоднозначной функцией координат, получающей заданное приращение при обходе вокруг линии дислокации. Физически, разумеется, никакой неоднознач­ности нет: приращение b означает дополнительное смещение точек решетки на один из периодов, что вообще не меняет ее состояния. В частности, тензор напряжений a_lh, характеризующий упругое состояние кристалла, является однозначной и непрерывной функ­цией координат.

Для дальнейшего будет удобным ввести обозначение

^*=-§р (27,2)

с помощью которого условие (27,1) записывается в виде

w_lhdx_t = — b_h. (27,3)

Тензор w_lh (несимметричный) принято называть тензором дистор-сии. Его симметричная часть дает обычный тензор деформации

«№^elMata + bfcr). (27.4)

Тензоры w_lh и u_ik — однозначные функции координат, в проти­воположность неоднозначной функции и (г).

Условие (27,3) можно записать и в дифференциальном виде. Для этого преобразуем интеграл по контуру L в интеграл по какой-либо поверхности S_L, опирающейся на этот контур ^х):

§w^dx_m=\e_ilm^dh. (27,5)

L S_L

Поскольку тензор e_iXm антисимметричен по индексам /, т, а тен­зор dw_mfdxi = d²u_h/dxidx_m симметричен по этим же индексам, то подынтегральное выражение тождественно равно нулю везде, за исключением точки пересечения линии D с поверхностью S^, на самой линии дислокации, как линии особых точек, представление w_mk в виде производных (27,2) теряет смысл ¹). В этих точках величины w_ih надо определить с помощью соответствующей б-функции так, чтобы интеграл (27,5) приобрел требуемое значение —b_k. Пусть | — двухмерный радиус-вектор, отсчитываемый от оси дислокации в данной ее точке в плоскости, перпендикулярной вектору т. Элемент площади этой плоскости выражается через элемент df поверхности S_L как т df. По определению двумерной б-функции б (1) имеем

\Щ)хй1= <г_г J b{l)dU= 1.

Ясно поэтому, что для достижения поставленной цели надо поло­жить

"ит-^Г = -тАоф- (27,6)

Это и есть искомая дифференциальная завись условия (27,3).

Поле смещений и (г) вокруг дислокации может быть выражено в общем виде, если известен тензор Грина G_ih уравнений равнове­сия данной анизотропной среды, т. е. функция, определяющая смещение щ, созданное в неограниченной среде сосредоточенной в начале координат единичной силой, направленной вдоль оси x_k (см. § 8). Это легко сделать с помощью следующего формального приема.

Вместо того чтобы искать неоднозначные решения уравнений равновесия, будем рассматривать и (г) как однозначную функцию, условившись, что она испытывает заданный скачок b на некоторой произвольно выбранной поверхности S_D, опирающейся на дисло­кационную петлю D. Если и₊ и и_ — значения функции соответ­ственно на верхнем и нижнем берегах разрыва S_Di то

u₊ - и_ = Ь. (27,7)

(«Верхний» и «нижний» берега определены на рис. 24. Нормаль п к поверхности S_D, направленная по отношению к г указанным на рисунке образом, дает направление от нижнего берега к верх­нему). Интегрирование по контуру L от верхнего берега к нижнему дает тогда результат (27,3) с правильным знаком. Тензоры [tv_ih и «_jft, формально определенные согласно (27,3—4), будут иметь на «поверхности разрыва» б-образную особенность:

w№ = n,W9, uiV = -L(n_tb_k + n_hb_t)6{Q_t (27,8)

¹) Если бы линия дислокации оканчивалась в какой-либо точке внутритела, то поверхность 5^ Могла бы быть выбрана охватывающей эту точку и тем самым нигде не пересекающей Линию D. Тогда интеграл (27,5) обратился бы в нуль — в противоречии с поставленным условием.

где £ — координата, отсчитываемая от поверхности S_D вдоль нор­мали n (dt, = n dl, где di — элемент длины контура L).

Поскольку никакой физической особенности в среде вокруг дислокации в действительности нет, то тензор напряжений o_lhi как уже было указано, должен быть однозначной везде непрерыв­ной функцией. Между тем с тензором деформации (27,8) формально связан тензор напряжений

Oik = mhlmUlm t

тоже имеющий особенность на поверхности S_D. Для того чтобы исключить его, надо ввести фиктивные объемные силы, распре­деленные вдоль поверхности S_D с определенной плотностью f^(s). Уравнения равновесия при наличии объемных сил имеют вид

дощ | _f(.s) _ _п

Отсюда ясно, что надо положить

й»__4*-_(27,9,

Таким образом, задача об отыскании неоднозначной функции и (г) эквивалентна задаче об отыскании однозначной, но разрыв­ной функции при наличии объемных сил, определяемых форму­лами (27,8—9). Теперь можно воспользоваться формулой

Дата добавления: 2014-11-06