КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Методические рекомендации 5 страница
М Таким образом, скорость распространения волн изгиба по пластинке пропорциональна волновому вектору, а не постоянна, как для волн в неограниченной трехмерной среде *). Аналогичные результаты справедливы и для волн изгиба тонких стержней; колебания изгиба предполагаются малыми. Уравнения движения получим, заменив в уравнениях равновесия слабо изогнутого стержня (20,4) силы —Кх, —Ку произведениями ускорений X, Y на массу pS единицы длины стержня (S — площадь его сечения). Таким образом, pSX = 9SY = EIX^. (25,10) Решение этих уравнений снова ищем в виде X = const-ё <**-<оо, Y = const -е [3] (**-«><>, и находим следующий закон дисперсии! со«> = (-f^)I/2^> = (-f^)'"*' (25,11) для колебаний вдоль осей х и у. Соответствующие скорости распространения: £/<*> = 2 (^-)I/2 k, UW = 2 (^-)1/2 ft. (25,12) Наконец, рассмотрим крутильные колебания стержня. Уравнение движения стержня, подвергаемого деформации кручения, получается-приравниванием выражения Сдх/dz (см. § 16, 18) производной по времени от момента импульса единицы длины стержня. Этот момент равен р/ ду/dt, где dq>/dt — угловая скорость вращения (ф — угол поворота данного сечения), а
— момент инерции сечения стержня относительно его центра инерции (при чисто крутильных колебаниях каждое сечение совершает вращательные колебания вокруг оси инерции стержня, остающейся неподвижной). Написав <с = дф/дг, находим уравнение движения в виде сФ=р'^- (ад Отсюда видно, что скорость распространения крутильных колебаний вдоль стержня равна (С/р/)1/2. (25,14) Задачи 1. Определить частоты продольных собственных колебаний стержня (дли- Решение. На закрепленном конце (г = 0) должно быть иг = 0, а на свободном конце (г = I) azz = Euzz = 0, т. е. диг1дг= 0, Ищем решение уравнения (25,1) в виде uz = A cos (со/ -f- сг) sin кг, k = со (р/£)1/2. Из условия при г = I имеем cos kl = 0, откуда для собственных частот находим "(f)u,S-*+» (я — целые числа). 2. То же для стержня, оба конца которого свободны или оба закреплены, / Е \1/2 п а={т) -п- 3. Определить частоты собственных колебаний струны (длины /). д*Х pS д*Х дг* Т dt* (ср. уравнение равновесия (20,17)). Граничные условия: Х=0 при г=0, I, Собственные частоты: / pS \i/2 пп
4. Определить частоты поперечных собственных колебаний стержня qwh? Решение. Уравнение (25,10) при подстановке в него X = Х0 (г) cos (со/ + а) приобретает вид
dz* ~" Е1и Общий интеграл этого уравнения есть Х0 = A cos кг + В sin xz -f- С ch xz -f- D sh xz. Постоянные Л, В, С, D определяются из граничных условий X — О, dX/dz = О при z = 0, /. В результате находим Х0 = A {(sin и/ — sh xl) (cos kz — ch xz) — (cos xf — ch xl) (sin xz — sh xz)} и уравнение cos xl ch x/ = 1, корни которого определяют собственные частоты колебаний. Наименьшая из собственных частот равна _ 22,4 Е1У tOmin-—j5--j5g-» 5. То же для стержня с опертыми концами. Решение аналогично решению задачи 4. Результат: XQ = Л sin хг, а частоты определяются из sin х/ = 0, т. е. х =— (п=1, 2,...).
Наименьшая частота есть 9,87 E/g I2 pS 6. То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного на другом. Х0 = A {(cos xl -f ch xl) (cos xz — ch xz) + (sin xl — sh x/) (sin xz — sh xz)J (закрепленный конец z = 0, свободный z = l), и уравнение cos х/ ch xl + 1 = О для собственных частот. Наименьшая частота есть 3,52 Ely <Отш--р pg-. 7. Определить собственные колебания прямоугольной 'пластинки (длины Решение, Уравнение (25,6) при подстановке в него £ = £о (х, у) cos (co< -f- а) приобретает вид 12р(1 — а2) ДД£о — x4?0 = 0s х» = со2 Выбираем оси координат по сторонам пластинки, Граничные условия (12,11) приобретают вид 8*1 при х=0, а: £ = О, -^§- = 0; при у = 0, Ь: £ = 0, -^=0. Удовлетворяющее этим условиям решение есть „.. тлх. плу а, Ь
(т, п — целые числа), причем частоты определяются равенством Eh 12р (1 — о2) 8. Определить собственные частоты колебаний мембраны прямоугольной формы (с длинами сторон а и ft). Решение. Уравнение колебаний мембраны Т Д£ = pftjj (ср. уравнение равновесия (14,9)). Края мембраны должны быть закреплены так, что £ = 0. Соответствующее решение для прямоугольной мембраны есть v.. тлх. плу, £ = A sin sin —г2- cos ш, где собственные частоты
ph (m, п — целые числа). 9. Определить скорость распространения крутильных колебаний по стержням с сечением в виде круга, эллипса и равностороннего треугольника и по стержню, имеющему вид длинной прямоугольной тонкой пластинки. Решение. Для кругового сечения (радиуса R) момент инерции / = = nR*/2; взяв С из задачи 1 § 16, получим для скорости значение (р-/р)1/2, совпадающее СО СКОРОСТЬЮ Cf. Аналогично (используя результаты задач 2—4 § 16) получаем для стержня эллиптического сечения скорость lab d' + b* Ct' для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника 3 V/2 / 3 у/2
для стержня в виде длинной прямоугольной пластинки
Все эти скорости меньше cj, 10. Поверхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектором и частотой для волн, одновременно распространяющихся по пластинке и в поверхностном слое жидкости, Решение. Выбираем плоскость пластинки в качестве плоскости г = О, а ось х выбираем вдоль направления распространения волны; области жидкости пусть соответствуют г< 0. Уравнение движения свободной пластинки есть
(р0 — плотность материала пластинки). При наличии жидкости к правой сторрне этого уравнения надо прибавить силу, действующую со стороны жидкости на 1 см2 поверхности пластинки, т. е. давление р жидкости. Но давление в волне выражается через потенциал скорости посредством р = —р ду/dt (полем тяжести пренебрегаем). Поэтому получаем уравнение . д\ п д% 3Ф 2=0 Далее, нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластинки, откуда получаем условие
dt дг <2> г=0 Потенциал ф должен удовлетворять во всем объеме жидкости уравнению ^L^-^L-O. (3) дх* ' дг* Ищем £ в виде бегущей ролны £ = ^е{кх'ш; соответственно этому берем ре шение уравнения (3) в виде затухающей в глубь жидкости поверхностной волны
Подстановка этих выражений в (1) и (2) приводит к двум уравнениям для ф0 и So, из условия совместности которых получаем D (Р + hp0k)
§ 26. Ангармонические колебания Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, в*каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны. Наиболее характерной особенностью упругих волн в этом приближении является то, что всякую волну можно представить в виде простого наложения, т.е. в виде линейной комбинации отдельных монохроматических волн. Каждая из этих монохроматических волн распространяется независимо от остальных и может существовать также и сама по себе, не сопровождаясь какими-либо посторонними движениями. Можно сказать, что различные монохроматические волны, одновременно распространяющиеся в одной и той же среде, «не взаимодействуют» друг с другом. Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и являются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническими в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений. Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего по- стоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспоненциальными множителями, какие стоят в свободных членах (правых сторонах) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэффициентами. Каждый из этих членов соответствует бегущей волне с частотой а>1 ± со2 и волновым вектором kx ± к2 (частоты, равные сумме или разности частот исходных волн, называют комбинационными). Таким образом, эффекты ангармоничности третьего порядка приводят к тому, что на совокупность основных монохроматических волн (с частотами ш1( со2. ••• и волновыми векторами kt, k2,...) налагаются некоторые «волны» слабой интенсивности с комбинационными частотами вида сох ± со2 и волновыми векторами к, ± кг. Мы говорим здесь о них как о «волнах» в кавычках, имея в виду, что они представляют собой некоторый поправочный эффект и не могут существовать сами по себе (за исключением некоторых особых случаев; см. ниже). Между юх ± ю2 и кг ± к2 не удовлетворяются, вообще говоря, те соотношения, которые цмеют место для частот и волновых векторов в обычных монохроматических волнах. Ясно, однако, что возможны и такие специальные подборы значений ©ь kj и со2, k2, при которых между юх -f- ©2 и. k, -f- ks (будем говорить для определенности о суммах, а не о разностях) будет выполняться одно из тех соотношений, которые должны иметь место для монохроматических волн в данной среде. Вводя обозначения о>3 = о)х -f- ci)2, k3 = kt -f k2, мы можем сказать с математической точки зрения, что ю3, к3 соответствуют в этих случаях волнам, удовлетворяющим однородным линейным уравнениям движения (без правой части) первого<приближения. Если в правой стороне уравнений движения второго приближения имеются члены, пропорциональные е1 (к'г-®'*) с такими ©3, кя, то, как известно, частный интеграл этих уравнений будет представлять собой волну этой частоты с амплитудой, неограниченно возрастающей со временем. "Таким образом, наложение двух монохроматических волн соь kj и со2, к2, для которых суммы со3, к3 удовлетворяют указанному условию, приводит в результате эффекта ангармоничности к явлению резонанса — возникает новая настоящая монохроматическая волна ©з, к3, амплитуда которой возрастает со временем и в конце концов перестает быть малой. Очевидно, что если при наложении волн,©ь ki и ©а, к2 возникает волна <в3, к3, то при наложении волн ©j, кх и ©з, к3 тоже будет иметь место резонанс и возникает волна т., = ©3 — ю1( k2 = k3 — кь а при наложении волн ©2, к2 и со3, к3 возникает волна <а1г кг. В частности, в изотропном теле © связано с к посредством © = ctk или © = ctk, причем сг £> ct. Легко видеть, в каких случаях возможно выполнение какого-либо из этих соотношений для каждой из трех волн: ©ъ кх; ©2, к2 и ю3 = ©л -j- ©2, к3 — = кх -f- к2. Если кх и к2 не совпадают по направлению, то k3 < < *i 4- к2; ясно поэтому, что при таких к,, к2 резонанс возможен лишь в следующих двух случаях: 1) волны ©ь кх и ©2. ^2 поперечны, а волна ©3, к8 продольна; 2) одна из волн ©ь кх или ш2, к2 продольна, другая поперечна, а волна ©3, к3 продольна. Если же векторы kj и к2 имеют одинаковое направление, то резонанс возможен в случаях, когда все три волны продольны или все три поперечны. Эффект ангармоничности с явлением резонанса возникает не только при наложении нескольких монохроматических волн, но и при наличии всего одной только волны ©х; кг. В этом случае в правой стороне уравнений движения имеются члены, пропорцио- § 26] ангармонические колебания нальные е2' <к«г-ш1'>. Но если для аи кх удовлетворяется обычное соотношение, то (в силу однородности первого порядка этого соотношения) оно удовлетворяется и для 2аи 2к±. Таким образом, эффект ангармоничности приводит к появлению наряду 6 каждой из имеющихся монохроматических волн иь к} также и волны 2соъ 2кг с удвоенными частотой и волновым вектором, причем амплитуда этой волны растет со временем. Наконец, остановимся коротко на том, каким образом могут быть составлены уравнения движения е учетом ангармонических членов. Тензор деформации должен определяться теперь полным выражением (1,3) и* = Т\^+-Ъ1^+-дхТ-дх7)> W> в котором нельзя пренебречь квадратичными по щ членами. Далее, общее выражение для плотности энергии &[4]) для тел с данной симметрией должно быть написано как скаляр, составленный из компонент тензора ыг* и некоторых характерных для вещества тела постоянных тензоров, содержащих члены до желаемой степени по Подставляя затем выражение (26,1) для иш и отбрасывая члены слишком высоких порядков по щ, получим энергию & как функцию производных дщ}дхк с желаемой степенью точности. Для того чтобы получить уравнения движения, заметим следующее. Вариация бсУ может быть написана в виде
\ dxk I или, вводя обозначение! ст»= д(дщ!дхк) ' (2б'2> переписываем бсУ следующим образом! № = °ш -тег = л?Г (°л 8ut) ~ out -°ift dxk - dxh K"lh ™[5]> дхк ' Коэффициенты при — 6щ представляют собой компоненты силы, от-отнесенной к единице объема тела. Они имеют формально прежний вид, и потому уравнения движения могут быть написаны по-прежнему в виде е°й' = ЧхТ' <26,3) где р0 — плотность недеформированного тела, а компоненты тензора aih определяются теперь, согласно (26,2), с 8, написанным с желаемой степенью точности. Тензор oih теперь не симметричен. Подчеркнем, что aik не имеет теперь смысла плотности потока импульса (тензора напряжений). В обычной теории такое истолкование получалось в результате интегрирования плотности объемной силы daihldxh по объему тела. При этом существенно, что при интегрировании мы не делали различия между координатами точек тела до и после деформирования, пренебрегая разницей между ними. Однако при переходе к следующим приближениям такое пренебрежение становится невозможным, и поверхность, ограничивающая область интегрирования, не совпадает с реальной поверхностью рассматриваемого участка тела после его деформирования. В § 2 было показано, что симметричность тензора aih связана с сохранением момента импульса. Теперь этот результат не имеет места в связи с тем, что плотность момента импульса должна записываться не в виде *j«ft — xhut, а как + "h — (*ft+ • задача Написать общее выражение для упругой энергии изотропного тела в третьем приближении. Решение. Из компонент симметрического тензора второго ранга можно составить два квадратичных скаляра (u|ft и 1ф) и три кубических (uslt, uutfkt UikuHuki)- Поэтому наиболее общий вид скалярного выражения, содержащего члены второй и третьей степеней по Ujfc со скалярными же (изотропное тело!) коэффициентами, есть 8 -{«4+(-j"--j) +Т"uikuuuki+Bu\kau+X (коэффициенты при и|йиигг выражены через модули сжатия и сдвига; А, В, С — три новые постоянные). Подставляя сюда выражение (26,1) для щъ и оставляя члены до третьего порядка включительно, получим упругую энергию в виде (1 / dUt duk \2 / К (1 \ / дщ \2 ^--т\-дхт+-дкт) +V"2-~TJ(-o>r; + / А \ дщ дщ дщ (В + К ц\ дщ I дщ у А дщ duh дщ В дщ duk дщ С_ /, дщ \з + 12~1)х^1^1^ + ~1^1^1^ + 1Г\1Щ~) *
ГЛАВА IV
ДИСЛОКАЦИИ1)
§ 27, Упругие деформации при наличии дислокации Упругие деформации в кристалле могут быть связаны не только гости. Однако для лучшего уяснения _•__•_.!_ *_L_*_.!_.!_.!.________ физического смысла излагаемых соот-...................................................... ё ношений предварительно напомним на........................................................ двух простых примерах, в чем заклю-...................................................... чается характер дислокационных де-.................................................... фектов с точки зрения структуры кри- Представим себе, что в кристаллическую решетку (разрез которой изображен на рис. 22) вдвинута «лишняя» кристаллическая полуплоскость (совпадающая на рисунке с верхней полуплоскостью у, г). Линия края этой полуплоскости (перпендикулярная плоскости рисунка ось г) называется в этом случае краевой дислокацией. Искажение структуры решетки в непосредственной близости к дислокации велико, но уже на расстояниях порядка нескольких периодов кристаллические плоскости смыкаются друг с другом почти правильным образом. Деформация существует, однако, и вдали от дислокации. Она ясно обнаруживается при обходе в плоскости х, у по узлам решетки вдоль замкнутого контура вокруг начала координат: если определять вектором и смещение каждого узла от его положения в идеальной решетке, то полное приращение этого вектора при обходе будет отлично от нуля и равно одному периоду вдоль оси х. Другой тип дислокации можно наглядно представить себе как результат «разреза» решетки- по полуплоскости, после чего части
J) Эта глава написана совместно с А. М, Косевичем решетки по обе стороны разреза сдвигаются относительно друг друга на один период параллельно краю разреза (который называется в этом случае винтовой дислокацией). Наличие такой дислокации превращает кристаллические плоскости в решетке в геликоидальную поверхность (подобную винтовой лестнице без ступенек). При полном обходе вокруг линии дислокаций" (ось геликоидальной поверхности) вектор смещения узлов получает приращение на один период параллельно этой оси. На рис. 23 изображена схема описанного разреза. С макроскопической точки зрения дислокационная деформация кристалла как сплошной среды обладает в общем случае следующим свойством! при обходе по любому замкнутому контуру L,
кристалла (ср. ниже примечание на стр. 152). Она должна выходить обоими концами на поверхность кристалла либо (как это обычно и бывает в реальных условиях) представлять собой замкнутую петлю. Условие (27,1) означает, другими словами, что при наличии дислокации вектор смещения является неоднозначной функцией координат, получающей заданное приращение при обходе вокруг линии дислокации. Физически, разумеется, никакой неоднозначности нет: приращение b означает дополнительное смещение точек решетки на один из периодов, что вообще не меняет ее состояния. В частности, тензор напряжений alh, характеризующий упругое состояние кристалла, является однозначной и непрерывной функцией координат. Для дальнейшего будет удобным ввести обозначение ^*=-§р (27,2) с помощью которого условие (27,1) записывается в виде wlhdxt = — bh. (27,3)
Тензор wlh (несимметричный) принято называть тензором дистор-сии. Его симметричная часть дает обычный тензор деформации «№elMata + bfcr). (27.4) Тензоры wlh и uik — однозначные функции координат, в противоположность неоднозначной функции и (г). Условие (27,3) можно записать и в дифференциальном виде. Для этого преобразуем интеграл по контуру L в интеграл по какой-либо поверхности SL, опирающейся на этот контур х): §w^dxm=\eilm^dh. (27,5) L SL Поскольку тензор eiXm антисимметричен по индексам /, т, а тензор dwmfdxi = d2uh/dxidxm симметричен по этим же индексам, то подынтегральное выражение тождественно равно нулю везде, за исключением точки пересечения линии D с поверхностью S^, на самой линии дислокации, как линии особых точек, представление wmk в виде производных (27,2) теряет смысл 1). В этих точках величины wih надо определить с помощью соответствующей б-функции так, чтобы интеграл (27,5) приобрел требуемое значение —bk. Пусть | — двухмерный радиус-вектор, отсчитываемый от оси дислокации в данной ее точке в плоскости, перпендикулярной вектору т. Элемент площади этой плоскости выражается через элемент df поверхности SL как т df. По определению двумерной б-функции б (1) имеем \Щ)хй1= <гг J b{l)dU= 1. Ясно поэтому, что для достижения поставленной цели надо положить "ит-^Г = -тАоф- (27,6) Это и есть искомая дифференциальная завись условия (27,3). Поле смещений и (г) вокруг дислокации может быть выражено в общем виде, если известен тензор Грина Gih уравнений равновесия данной анизотропной среды, т. е. функция, определяющая смещение щ, созданное в неограниченной среде сосредоточенной в начале координат единичной силой, направленной вдоль оси xk (см. § 8). Это легко сделать с помощью следующего формального приема. Вместо того чтобы искать неоднозначные решения уравнений равновесия, будем рассматривать и (г) как однозначную функцию, условившись, что она испытывает заданный скачок b на некоторой произвольно выбранной поверхности SD, опирающейся на дислокационную петлю D. Если и+ и и_ — значения функции соответственно на верхнем и нижнем берегах разрыва SDi то u+ - и_ = Ь. (27,7) («Верхний» и «нижний» берега определены на рис. 24. Нормаль п к поверхности SD, направленная по отношению к г указанным на рисунке образом, дает направление от нижнего берега к верхнему). Интегрирование по контуру L от верхнего берега к нижнему дает тогда результат (27,3) с правильным знаком. Тензоры [tvih и «jft, формально определенные согласно (27,3—4), будут иметь на «поверхности разрыва» б-образную особенность: w№ = n,W9, uiV = -L(ntbk + nhbt)6{Qt (27,8)
где £ — координата, отсчитываемая от поверхности SD вдоль нормали n (dt, = n dl, где di — элемент длины контура L). Поскольку никакой физической особенности в среде вокруг дислокации в действительности нет, то тензор напряжений olhi как уже было указано, должен быть однозначной везде непрерывной функцией. Между тем с тензором деформации (27,8) формально связан тензор напряжений Oik = mhlmUlm t тоже имеющий особенность на поверхности SD. Для того чтобы исключить его, надо ввести фиктивные объемные силы, распределенные вдоль поверхности SD с определенной плотностью f(s). Уравнения равновесия при наличии объемных сил имеют вид дощ | f(.s) _ п Отсюда ясно, что надо положить й»__4*-_(27,9, Таким образом, задача об отыскании неоднозначной функции и (г) эквивалентна задаче об отыскании однозначной, но разрывной функции при наличии объемных сил, определяемых формулами (27,8—9). Теперь можно воспользоваться формулой
Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 345; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |