Методические рекомендации 4 страница

-gL__c?Au, = 0. (22,12)

Уравнения (22,11) и (22,-12) предс^анляют 'Собой обычные вол­новые уравнения (в трех измерениях). Каждое" цз них соответствует распространению упругой волны со скоростью соответственно Cj или c_t. Одна из этих волн (щ) не связана с изменением объема (в силу div щ — 0), а другая (а_г) сопровождается объемными сжа­тиями и расширениями.

В монохроматической упругой волне вектор смещения имеет вид

и = Ъе{щ(г)е~™\, (22,13)

где и₀ — функция координат. Эта функция удовлетворяет урав­нению

с] Au₀ + (^с/ — ^с?) grad div u₀ + <o²u₀ = 0, (22,14)

получающемуся при подстановке (22,13) в (22,6). Продольная и поперечная части монохроматической волны удовлетворяют урав­нениям

Au^+fefo-O, Ди/+ ftfn,=0, (22,15)

где ki — ю/cz, k_t = ®к_г — волновые векторы продольной и попе­речной волн.

Наконед, рассмотрим отражение и преломление плоской моно­хроматической уяругой волны на границе раздела между двумя различными упругими средами. При этом надо иметь в виду, что при отражении и преломлении характер волны, вообще говоря, меняется. Если на границу раздела падает чисто поперечная или чисто продольная волна, то в результате получаются смешан­ные волны, содержащие как поперечные, так и продольные части. Характер волны не меняется (как это явствует из соображений симметрии) только в случае перпендикулярного падения еолны на поверхность раздела и в случае падения под произволыгь™ углом поперечной волны с параллельными плоскости раздела колеба­ниями.

Соотношения, определяющие направления отраженной и пре­ломленной волн, могут быть получены непосредственно из постоян­ства частоты и касательных к поверхности раздела компонент волнового вектора *). Пусть 0 и 6' — угол падения и угол отра­жения (или преломления), г с, с' — скорости обеих рассматри­ваемых волн. Тогда

■^г = А-. (22,16)

¹) См. VI, § 66. Все изложенные там соображения полностью применимы и здесь.

sme с v > /

Пусть, например₊ падающая волна поперечна. Тогда о = c_tt есть скорость поперечных волн в первой среде. Для поперечной же отраженной водаы имеем тоже с' = ct_tt и потому (22,16) даст

0 = 8',

т. е. угол падения равен углу отражения. Для продольной же отраженной всэдны имеем с' = ct_lt и потому

s|n0 _ Cfi

su10' ~ Сц '

Для поперечной части преломленной волны имеем с' = Ct% и при поперечной ш падающей волне имеем

sin 9 c_tl

sin 0' Cj₂

Аналогично двя продольной преломленной волны имеем

sin 8 cti

sine' ~ Ci_% '

Задачи

1. Определить коэффициент отражения продольной монохроматической волны, падающей под произвольным углом на границу тела с вакуумом.

Решение. При отражении под произвольным углом возникают как продольная, так и ^поперечная отраженные волны. Из соображений симметрии заранее ясно, что вектор смещения в поперечной отраженной волне будет лежать целиком в плоскости падения (рис. 20; п₀, п;, щ — еди­ничные векторы вдоль направлений падающей, продольной и поперечной отраженных волн, a u₀, и;, щ — соответству­ющие векторы смещений). Полное смещение в теле равно сумме (общий множитель е~^ш( для краткости опускаем)

и = ЛоПое'^к°^г -f A_tnie^iklT + A_t [ъщ] е'^к'^г

(а — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости падения). Абсолютные величины волновых векторов равны: k₀ = ki = (n/ci, ki = Wcj, а углы падения 0_o

и отражения 6;, 0* связаны посредством 0; = 8₀, sin 0(= понент тензора деформации на границе тела получаем

и_хх = ik₀ (А₀ + А{) cos² 0_О + iA_tk_t cos 0j sin 0_t, uu = ik₀(A₀ + Ai),

Cf

sin 0„ —. Для ком-

■■ ik₀ (A₀ — Ai) sin 0_O cos 6₀ —- A_tk_t (cos^a Q_t ■

- sin² 0_t)

(сбщие экспоненциальные множители опускаем). Компоненты тензора напря-»кений вычисляем по общей формуле (5,11), которую удобно писать здесь в виде

°ik = ²P^cl^uik + Р (с? — ^2с?) ^и/А*«

Граничные условия на свободной поверхности среды гласят о^п^ = 0, откуда а_хх = Оу_Х = 0, и дают два уравнения, из которых можно выразить А\, At через А₀. В результате вычисления получается

с] sin 29, sin 26₀ + с) cos² 29, 2ciCt sin 26₀ cos 29f

с² sin 26, sin 20₀ — с] cos² 20,

Ai = А_а

A_t = —А₀

ci sin 26, sin 20₀ + l\ cos² 26,

При 9₀ = 0 имеем A\ = —А_й, At = 0, т. е. волна отражается целиком как про­дольная. Отношение перпендикулярной к поверхности среды компоненты плот­ности потока энергии в отраженной продольной волне к такому же потоку в па­дающей волне есть

^Rl-\A₀

Аналогичное отношение для отраженной поперечной волны есть

ct cos Of I At I²

ci cos 6₀ I A₀

Разумеется, Ri -f- Rt = 1.

2. To же, если падающая волна поперечная (и направление колебаний в ней
лежит в плоскости падения)*).

Решение. Волна отражается в виде поперечной же и продольной волн, причем Of = б₀, cj sin 9; = cj sin 9₀. Полный вектор смещения:

u = [ап„] Л₀е'^к°^Г + mAie^tklT + [an₍] A_te^kl^T.

Для амплитуд отраженных волн получаются выражения A_t с\ sin 29, sin 29₀ — с| cos² 29₀ "^7^_^sin26,sin29₀ + c.²cos²2e_Q '

At ________ 2c;c_t sin 29₀ cos 28₀

A₀ ~ c\ sin 29, sin 29₀ + cj cos² 20_o '

3. Определить частоты радиальных собственных колебаний упругого шара
радиуса R.

Решение. Выбираем сферические координаты с началом в центре шара. При радиальных колебаниях и направлено по радиусу и зависит только от г (и от t). Поэтому rot и = 0. Введем «потенциал» смещения <р согласно и_г = и = = ду/дг. Выраженное через <р уравнение движения сводится к волновому урав­нению с² Дф = ф, или для периодических по времени (~е"*^и') колебаний;

*»--И-("£)-[1] «

Решение, конечное во всем объеме шара, включая его центр, есть

, sin kr _{ф= А} —

(временной множитель не пишем). Радиальные напряжения:

°Yr = Р { iA ~ ²<$) «и + ^2с*^игг) = Р { (с? - Щ ^ДЧ> + 2c?q>" }

или, использовав уравнение (1):

—а„ = —со ш — 4с;— ш •
р ^{гг т 1} г ^т

Граничное условие а_гг (/?) = 0 приводит к уравнению
tg kR _________ 1

kR 1 — (kRa/2c_t)* '

(2)

(3)

Его корни определяют частоты собственных колебаний <о = с;й.

4. Определить частоту радиальных колебаний сферической полости в не­ограниченной упругой среде, для которой с; s> cj.

Решение. В неограниченной среде радиальные колебания полости сопровождаются излучением продольных звуковых волн, что приводит к потере энергии и тем самым к затуханию колебаний. При с; > cj (т. е. К > р.) это излу­чение будет слабым и можно говорить о собственных частотах колебаний с малым коэффициентом затухания.

Ищем решение уравнения (I) в виде расходящейся сферической волны

л ^еШ _h ">
ф=л, k =

г С), j

и с помощью (2) получаем из граничного условия a_rr (R) = 0

Отсюда (при С\ > с₍)

Вещественная часть о дает собственную частоту колебаний, а мнимая — коэф­фициент затухания; в несжимаемой среде (с_г оо) затухание, естественно, от­сутствовало бы. Эти колебания — специфический результат сопротивляемости среды по отношению к сдвигу (р, Ф 0). Обратим внимание на то, что для них kR = 2с*/с; <; 1, т. е. соответствующая этим колебаниям длина волны велика ио сравнению с R (интересно⁴ сравнить это с колебаниями упругой сферы, для которых при с; > ct первая собственная частота определяется согласно (3) из kR = я).

§ 23. Упругие волны в кристаллах

Распространение упругих волн в анизотропной среде, т. е. в кристаллах, подчиняется более сложным закономерностям, чем распространение волн в изотропном теле. Для исследования таких волн надо обратиться к общим уравнениям движения

и воспользоваться для a_ik общим выражением (10,3)

Соответственно сказанному в начале предыдущего параграфа под kikim ^наД° везде подразумевать адиабатические значения модулей упругости.

Подставляя o_lk в уравнения движения, получаем

j dtilmIjklm д f du_t, du_m \

___ 1» д^щ i 1 ₁ 6%_m

— ₂ л_{Шт ajCftdjCm} -r- ₂ ^лШт ax_ftdxi "

Поскольку тензор Я_Шт симметричен по индексам / и т, то, меняя во втором члене обозначение индексов суммирования / и т на об­ратное,, находим, что первый и второй члены тождественны. Таким образом, получаем уравнения движения в виде

p^fl'=w5?fe-- (ад

Рассмотрим монохроматическую упругую волну в кристалле. Для этого мы должны искать решение уравнений движения в виде

щ = u_aie^l <^кг-^и'>

(и_т — постоянные), причем соотношение между волновым векто­ром к и частотой со должно быть определено так, чтобы написан­ная функция действительно удовлетворяла уравнению (23,1). Диф­ференцирование и| по времени приводит к умножению на—to, а дифференцирование по x_k — к умножению наi&_ft. Поэтому урав­нение (23,1) после подстановки превращается в

Написав u_t = 8_imu_m, переписываем это равенство в виде

(pco²6_im - l_ih[mk^i) и_т = 0. (23,2)

Это — система трех однородных уравнений первой степени отно­сительно неизвестных и_х, и_у, и_г. Как известно, такая система имеет отличные от нуля решения лишь при условии равенства нулю определителя коэффициентов уравнений

IWA-P»²L| = 0. (23,3)

Этим уравнением определяется зависимость частоты волны от> волнового вектора; об этой зависимости говорят как о законе дис­персии волн, а определяющее его уравнение называют дисперсион­ным. Уравнение (23,3) — третьей степени по о»². Оно имеет три, вообще говоря, различных корня со² = со| (к) — три, как гово­рят, ветви закона дисперсии. Подставляя поочередно каждый из этих корней обратно в уравнения (23,2) и решая их, мы найдем направления вектора смещения и в этих волнах, — как говорят, направления их поляризации (в силу своей однородности, урав­нения (23,2) не определяют, конечно, абсолютной величины век­тора и, остающейся произвольной) *). Направления поляризации трех волн с одним и тем же волновым вектором к взаимно перпен­дикулярны. Это важное утверждение следует прямо из того, что уравнение (23,3) можно рассматривать как уравнение, определяю­щее главные значения симметричного тензора второго pajHra ^ihimkkki ^[2]); уравнения же (23,2) определяют главные направле­ния этого тензора, которые, как известно, взаимно перпендику­лярны. Ни одно из этих направлений, однако, не является, вообще говоря, ни чисто продольным, ни чисто поперечным по отношению к направлению к.

Скорость распространения волны (ее групповая скорость) дается производной

U = -|£- (23,4)

(см. VI, § 67). В изотропной среде зависимость со (к) сводится к пропорциональности абсолютному значению k, и потому направ­ление этой скорости совпадает с направлением волнового вектора. В кристаллах это не так, и направление распространения волны не совпадает, вообще говоря, с направлением к. Векторы к и U кол-линеарны для некоторых исключительных направлений осей сим­метрии кристалла.

Из дисперсионного уравнения (23,3) видно, что в кристалле со является однородной функцией первого порядка от компонент век­тора к (если ввести в качестве неизвестной величины отношение ы/k, то коэффициенты уравнения не зависят от k). Поэтому ско­рость U — однородная функция нулевого порядка от k_x, k_y, k_z. Другими словами, скорость распространения волны, являясь функцией ее направления, не зависит от частоты.

^г) В изотропном теле этими ветвями являются со == cjfc (продольно поляри­зованные волны) и два совпадающих корня со == cjfe, отвечающие волнам с двумя независимыми поперечными направлениями поляризации,

Если построить в k-пространстве (т. е. в координатах k_x, k_yi k_z) поверхность постоянной частоты, to (k) = const (для какой-либо из ветвей закона дисперсии), то направление вектора (23,4) совпадает с нормалью к поверхности. Очевидно, что если эта по­верхность всюду выпуклая, то связь между направлениями U и к взаимно однозначна: каждому направлению к отвечает одно определенное направление U и наоборот. Если же поверхность постоянной частоты не всюду выпукла, то эта связь становится не взаимно однозначной: каждому направлению к по-прежнему

УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ

отвечает (в данной ветви закона дисперсии) одно направление U, но заданное направление I) может осуществляться с различными направлениями к.

Задачи

1. Определить закон дисперсии упругих волн в кубическом кристалле,
распространяющихся а) в кристаллографической плоскости (001) (плоскость
грани куба); б) в кристаллографическом направлении [111] (направление диа-
гонали куба).

Решение. В кубическом кристалле отличны от нуля упругие модули Х_ХХхх = ^i, Х_хкуу ее Х₂, Х_хуху = Х₃ (и равные им компоненты тензора с заменой индексов х, у другими из х, у, г — см. § 10); оси х, у, г направлены вдоль ребер куба.

а) Выберем плоскость (001) в качестве плоскости х, у и пусть 6 — угол
между лежащим в ней волновым вектором к и осью х. Составив дисперсионное
уравнение (23,3) и решив его, найдем три ветви закона дисперсии:

рсо², ₂ = V^² + Ь₃ ± [(\ - hf~ ⁴ (*i + Ц (S - h - ²h)^sln2 9 cos²Qf'²}, рш² = X^k².

Волна третьей ветви поперечна и поляризована вдоль оси г. Волны первых двух ветвей поляризованы в плоскости х, у. Из соображений симметрии очевидно, что скорость распространения U = дшдк всех этих волн тоже лежит в плоско­сти х, у, поэтому для ее вычисления достаточно полученных выражений. При 6 = 0 (к вдоль оси х) имеем

рсо? = А,]£², pcof, = X,k²,

причем волна / продольна (поляризована вдоль оси х), а волна 2 поперечна (поляризована вдоль оси у).

При 0 = я/4 (к вдоль диагонали грани куба) имеем

pcof = V, (Ч + Х₂ + 2*₃) k\ pcol = V. (Xj - Х₂) k\

Волна 1 продольна, а волна 2 поперечна и поляризована в плоскости х, у.

б) В этом случае волновой вектор имеет компоненты k_x — k_y = k_z =
Решение дисперсионного уравнения дает

рш? = + 2Я₂ + 4Х₃),

Р»1,з = Vs^² (A-i — Х-2 + Х₃). Волна / продольна, волны 2 и 3 поперечны.

2. Определить закон дисперсии упругих волн в кристалле гексагональ-
ной системы.

Решение. Гексагональный кристалл имеет пять независимых упругих модулей (см. задачу 1 § 10), для которых введем обозначения:

Ххххх ⁼ ^"uvvv ^{= а}' ^хуху ⁼ ^> Х_ххуу = а 2Ь,

Xxxzz = X_yyzz — с, Х_хгхг = Xy_zyz — d, X_zzzz = f.

Ось z направлена по оси симметрии шестого порядка, направления же осей х, g могут быть выбраны произвольно. Выберем плоскость xz так, чтобы в ней лежал волновой вектор к. Тогда k_x = k sin 6, k_y == 0, k_z — k cos 9, где 9 — угол ме­жду к и осью z. Составляя уравнение (23,3) и решая его, найдем

рсо? = ft² (6 sin² 9-f-d cos² 9),

pcof,з = V26² {a sin² 6 + /cos² 9 + d ±

± [{(a- d) sin² 9 + (d - f) cos² 9)² + 4 (c +. df sin² 6 cos² б]¹'²}.

При в = 0 имеем

pco|_l2=fe4 pal = k^rf; волна 3 продольна, волны 1 и 2 поперечны.

§ 24. Поверхностные волны

Особым видом упругих волн являются волны, распространяю­щиеся вблизи поверхности среды и не проникающие в глубь нее — волны Рэлея (Rayieigh, 1885).

Напишем уравнения движения в виде (22,11—12)1

-|^-£²Лы=0 (24,1)

(где и — какая-либо из компонент векторов щ, щ, а с — соответ­ствующая ей скорость Ci или с_г), и будем искать решения, отве­чающие поверхностным волнам. Поверхность упругой среды будем предполагать плоской, и выберем ее в качестве плоскости х, у\ области среды пусть соответствуют z < 0.

Рассмотрим «плоскую» монохроматическую поверхностную волну, распространяющуюся вдоль оси х\ функция и {£, х, г) в ней имеет вад

где функция / (г) удовлетворяет уравнению /" = и²/; введено обо­значение

х = (&² - ©Ус²)'/*. (24,2)

Если к? — со²/с² < 0, то / (г) — периодическая функция, т. е. мы получили бы обычную плоскую волну, не исчезающую во всем объеме среды. Поэтому надо считать, что № — ъ>Ус² g> 0, и % — ве­щественное число. Уравнение имеет решения вида ехр (±хг); из них надо выбрать то, которое затухает при z~> — со.

Таким образам, мы приходим к следующему решению уравне­ний движения:

U = Const ё (к*-Ы)#а_ш (24,3)

Оно соответствует волне, быстро (экспоненциально) затухающей внутрь тела, т.е. распространяющейся только вблизи его поверх­ности. Величина к определяет скорость этого затухания.

Истинный вектор деформации и в волне является суммой Еекто-ров щ и щ, компоненты каждого из которых удовлетворяют урав­нению (24,1) со скоростью с = c_t для щ м с — c_t для щ. В случае объемных вола в неограниченной среде эти две части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн такое разделение на две независимые части оказывается (благодаря наличию граничных условий) невозмож­ным. Вектор смещения и должен быть определенной линейной комбинацией векторов щ и и_{. По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь наглядного смысла

i 24i

поверхностные волны

параллельных и перпендикулярных к направлению распростра­нения компонент смещения.

Для определения линейной комбинации векторов щ и щ, даю­щей истинное смещение и, надо обратиться к предельным условиям на границе тела. Отсюда же определится связь между волновым вектором к и частотой со, а следовательно, и скорость распростра­нения волны. На. свободной поверхности должно выполняться условие a_thn_h — 0. Поскольку вектор нормали п направлен по оси г, то отсюда следуют условия

О_хг = Oyt = O_zz = О,

откуда

= 0» и»* = 0, о (и_хх + и_т) -f (1 - а) u_zz = 0. (24,4)

Поскольку все величины не зависят от координаты y_t то второе из этих условий дает

„ _ ¹ (^диу. Л!кЛ — А.^диу — п ^и»^г ~ 2 \~дГ ду) ~ 2 ~Ы

С учетом (24,3) отсюда следует

а_и = 0. (24,5)

Таким образом, в поверхностной волне вектор деформации и ле­жит в плоскости, проведенной через направление распространения перпендикулярно к поверхности.

«Поперечная» часть волны щ должна удовлетворять условию (22,8) div щ = 0, или

дх ' дг

Ввиду (24,3) это условие приводит к равенству

iku_tx+ щи_и = 0, определяющему отношение u_tx!u_tz. Таким образом, имеем

^ut_x — ^Kt^{a е}^Р (ikx + x_tz — Ш),

«_(i =—i&a exp (ikx -\- щг — t©^)> (24,6)

где a — постоянная.

«Продольная» часть и_г удовлетворяет условию (22,9) rot и, = = 0, или

дщ_х дм(_г

= 0,

дг дх

откуда

iku_u — KiUtx = 0, к* = (k² — со²/с²)^1/2.
Таким образом, должно быть

щ_х = kbe^+^f-^, и_1г = —щЬ^^кх^\^г-^ш, (24,7)
где 6 — постоянная.

теперь воспользуемся первым и третьим из условий (24,4). выражая u_ih через производные от ы_г и вводя скорости с_г и Ct, переписываем эти условия в виде

ди_х, ди_г _ _n

дг *+* дх — ^U* _П4

я я (24,8

с^₊(с²-2с?)-^-==0.

сюда надо подставить

^на = ^и1х + ^мг = ^и1г 4" ^и«г«

в результате первое из условий (24,8) дает уравнение

а(й² + к?) + 2ьлк_/ = 0. (24,9)

второе приводит к равенству

2ас]щк + Ь [с] (к? - £²) + 2й?*²] = о,

или

2an_tk + + *?) = 0- (²⁴.^,0)

условие совместности двух однородных уравнений (24,9) и (24,10) дает

(a» + K?)⁸ = 4ftW/,

или, возведя в квадрат и подставив значения щ, щх

!«*■(* ~!•). (24,1.)

этим уравнением определяется связь между со и &. очевидно, что со = const -k; для определения коэффициента пропорциональ-ности^ напишем это соотношение в виде

со = еМ. (24,12)

тогда общий множитель k^B сокращается и, раскрыв скобки, полу­чим для £ уравнение

r-8^+8|^3-2-|j-16(l—|j =0. (24,13)

отсюда видно, что число £ зависит только от отношения Cttct, яв­ляющегося некоторой характерной для каждого данного вещества постоянной и зависящего в свою очередь только от коэффициента пуассона!

с) ~ 2 (1 — а) *

величина £ должна быть, разумеется, вещественной положи­тельной, причем | < 1 (так, чтобыщ, небыли вещественны). урав­нение (24,13) имеет только один корень, удовлетворяющий этим

условиям, так что для каждого данного значения c_tlci получается всего одно определенное значение |*).

Таким образом, для поверхностных волн, как и для объемных, частота пропорциональна волновому вектору. Коэффициент про­порциональности между ними есть скорость распространения волны

U = c_tl (24,14)

Этим определяется скорость распространения поверхностных волн через скорости c_f и с* поперечных и продольных объемных волн. Отно­шение амплитуд поперечной и продольной частей волны определяется по значению £ формулой

2-Е²

2^1-й²

(24,15)

Отношение с\1с_х фактически меняется для различных веществ в пределах от lAj/2 до 0, что соответствует изменению а от 0 до 1/2; при этом | меняется от 0,874 до 0,955. На рис. 21 дан график зависимости \ от с.

Задача

Плоскопараллельный пласт толщины h (среда /) лежит на упругом полу­пространстве (среда 2). Определить зависимость частоты от волнового вектора для поперечных волн в пласте с направлением колебаний, параллельным гра­ницам пласта.

Решение. Выберем плоскость раздела между пластом и полупростран­ством в качестве плоскости х, у, причем упругому полупространству соответ­ствуют z<5 0, а пласту h > г> 0. В пласте имеем

:/(г)е' <**-«*>,

= «п = 0,

W²

а в среде 2 пишем затухающую в глубь нее волну: ",2 = "_г2=0, «,₂= ЛW <**-«><>,

к₂ = (£² — со

Для функции f (г) имеем уравнение

(мы увидим ниже, что должно быть %\ > 0), откуда

/ (г) = В sin и_хг -f- С cos щг.

На свободной границе пласта (г = Л) должно быть о_гу = 0, т. е. ди_у1/дг = 0. На границе же между обеими средами (г = 0) имеем условия

Uyi = и_у2,

1*1

VI

ди, Тг ди.

дг

(jii, (i₂ — модули сдвига обеих сред). Из этих, условий находим три уравнения для А, В, С, условие совместности которых дает

Это уравнение определяет в неявном виде зависимость со от k\ оно имеет решения лишь при вещественных x_t и х₂, так что всегда с<₂ > со/Л > с«. Отсюда видно, что распространение рассматриваемых волн возможно лишь при условии cj₂^!> сц.

§ 25. Колебания стержней и пластинок

Волны, распространяющиеся в тонких пластинках и стерж­нях, существенно отличаются от волн, распространяющихся в среде, неограниченной во всех направлениях. При этом речь идет о волнах, длина которых велика по сравнению с толщиной стержня или пластинки. В обратном предельном случае длин волн, малых по сравнению с этой толщиной, стержень или пла­стинку можно было бы вообще рассматривать как неограничен­ные во всех направлениях, и мы получили бы* снова соотношения, имевшие место в неограниченных средах. •

Необходимо различать волны, в которых колебания происхо­дят параллельно оси стержня или плоскости пластинки, от волн с перпендикулярными колебаниями. Начнем о изучения продоль­ных волн в стержнях.

Продольная деформация стержня (однородная вдоль его сече­ния), на боковую поверхность которого не действуют никакие внешние силы, представляет собой простое растяжение или сжатие. Таким образом, продольные волны в стержне представляют собой распространяющиеся вдоль его длины простые растяжения или сжатия. Но при простом растяжении отлична от нуля только ком­понента a_zz тензора напряжений (ось г — вдоль длины стержня), связанная с тензором деформации посредством (см. § 5)

du_z

a_zz — Eu_zz — Е ■

Подставляя это в общее уравнение движения

да_гъ

«аходим

Это есть уравнение продольных колебаний в стержнях. Мы видим, что оно имеет вид обычного волнового уравнения. Скорость рас­пространения продольных волн в стержнях оказывается равной

(Е/₉У». (25,2)

Сравнив ее с выражением (22,4) для c_t, видим, что она меньше ско­рости распространения продольных волн в неограниченной среде.

I = const •e^,'^kr-^w'>

(25,7)

(волновой вектор к имеет, конечно, всего две компоненты k_x и k_v). Подстановка в (25,6) приводит к уравнению

-рсо* + -5-^ = 0.

Отсюда получаем следующее соотношение между частотой и,, вол­новым вектором волны:

^Ш=* КИТ) (l2_P(l-o*)) ' <²⁵'⁸)

Таким образом, частота оказывается пропорциональной квадрату абсолютной величины волнового вектора, в то время как в волнах в неограниченной среде она пропорциональна первой ее степени.

Зная закон дисперсии волн, можно найти скорость их распро­странения согласно формуле (23,4). В данном случае находим

Дата добавления: 2014-11-06