Методические рекомендации 11 страница

Первое уравнение не содержит бп и определяет колебания ско­рости и закон дисперсии, после чего второе уравнение непосред­ственно дает сопутствующие колебания директора (см. задачу 2).

Перейдем ко второму типу сдвиговых колебаний при условии р, <^ 1 — к специфическим для нематика медленным колебаниям директора. В этих колебаниях порядок величины переменной части директора определяется балансом между производной dbn/dt в левой стороне уравнения (42,6) и членом h/y в его правой сто­роне: собга ~ h/y, и поскольку h ~ Kk²8n, закон дисперсии этих колебаний качественно дается соотношением

tco ~ Kk²/y. (42,11)

Очевидно, что производная р dv/dt ~ русо в левой стороне уравне­ния (42,5) оказывается при этом малой по сравнению с членами dkO'tk ~ t]vk² в его правой стороне и потому может быть опущена. Уравнение

— dfip + -g- («oi d_kh_k - n_ok d_kh_t) - ~ Ы d_kh_h +

+ По_кд_кЫ) + д_ка'_ш =0 (42,12)

определяет связь между колебаниями скорости' и директора, после чего закон дисперсии определяется из уравнения (42,6) (см. за­дачу 3).

Обратим внимание на то, что отношение частот (42,11) и (42,8) со_м/со_б ~ ц. Таким образом, при одном и том же значении k частота со_м мала по сравнению с сое'> с этим и связано название соответствующих колебаний медленными и быстрыми.

Наконец, температурные колебания в неподвижной нематиче­ской среде отличаются от аналогичных колебаний в обычной жидкости лишь появлением анизотропии в законе дисперсии, аналогичном (42,3) (см. задачу 4).

Задачи

1. Определить коэффициент поглощения звука в нематической среде.
Решение, Коэффициент поглощения^[68]) вычисляется как отношение

Г = %1ср~Ф

(см. § 34), причем диссипативная функция дается формулой (41,5). При этом в ней можно опустить член h'/т. Действительно, как уже указано, молекулярное поле А со А*, н потому №1у со ft^[69], между тем, как остальные члены в R пропор­циональны более низкой степени волнового вектора — k*. Простое вычисление приводит к следующему результату *)i

Г =-т^г {(тц + + 2 (Лз + 44 - % - %) ^ в +"

+ (% + Ъ + Пъ — 2т1з — 2т)4) cos^[70] в -f-

-г[*_х + (Ч,-х_х)Со₈*е] (JL-_L)}_f

где в — угол между к (и тем самым v) и п. Вычисление теплопроводностной части поглощения полностью аналогично такому же вычислению для обычной жидкости — см. VI, § 79 (с_р, Сд — теплоемкости единицы массы вещества),

2. Найти закон дисперсии быстрых сдвиговых колебаний..
Решение, Для плоской волны (v со exp (ikr — to/)) уравнение (42,9)

принимает вид

— ipav_t = — ikfip + ik_ko'_th.

Для несжимаемого нематика вязкий тензор напряжений дается формулой (41,7), и простое вычисление (с учетом поперечности v, vk = 0) приводит уравнение к виду ^?)

ipwv = ikdp + aik^%v + а_г№п (nv) -f- a_akk (nv), (1)

где

°i = 4i + V» b)i — 2щ) cos^[71] 8,

«a = V* (т|з — 2th) + (% + % — 2tj₃) cos* 0,

Яз = ^[72]/а (48 — 2%) cosB,

где 8 — угол между k и п. Умножив уравнение (1) на к, получим формулу, опре­деляющую колебания давления по колебаниям скорости:

^а) При вычислении квадратичных величин все колеблющиеся величины должны, конечно, записываться в вещественном виде — их зависимость от t а г дается множителями cos (кг — at).

6р = Ik (nv) (а₃ + а_г cos 8). (2)

Искомый же закон дисперсии определяется поперечными компонентами урав­нения (1). Умножив это уравнение на [nk], получим закон дисперсии

^шх = — ^а1(^в) = -J- (Ч1 sin² 6 + _ Г1₃ cos² в),

отвечающий колебаниям v, перпендикулярным плоскости, проходящей через векторы кип. Закон же дисперсии для колебаний, поляризованных в указанной плоскости, получится умножением уравнения (1) на п и исключением из него др с помощью (2):

/со;; = fa (6) + sin² Qa₂ (9)} - JL \~L _{{T]1 +} fy _sto2 29 + -L n₃ cos² 29}.

Оба закона находятся, конечно, в согласии с качественной оценкой (42,8).

3. Найти закон дисперсии медленных сдвиговых колебаний.

Решение. Для плоской волны (6п со exp (ikt — Ш)) линеаризованное молекулярное поле

h = Н - п (пН) = — 7?! {к — n (nk)} (kSn) — tf_sv <v6n) - K_a (kn)» 6n,

где

v= [nk] (v* = ft² sin^a 6). Уравнение же (42,12) (с o'_tk из (41,7)) принимает вид

—Ыр—aJPv— а»#»п (nv) — а₈йс (nv) + / ~Ь.„ (kh) — il^tLh (nk) = о

О)

(функции ai (9), a₃ (9) определены в задаче 2). Умножив его на v, находим связь между колебаниями v и on, поляризованными перпендикулярно плоскости к, п:

_ai (vv) = - i (nk) (hv) = i (kn) К_± Ш, (2)

где

/с_д = a:₂ sin² e + к» cos² e.

Далее, пишем уравнение (42,6), умноженное на v:

- /со (vSn) = -L (1 + К) (nk) (w) - -^Lt. (v6n).

Исключив отсюда (vv) с помощью (2), найдем закон дисперсии колебаний, поляри­зованных перпендикулярно плоскости к, п:

Для нахождения закона дисперсии колебаний, поляризованных в плоско­сти к, п, проецируем уравнение (1) на направление, перпендикулярное вектору к (в плоскости п, к) и умножаем его на п; это дает

(nv) (о_х -f a₂sin* 9) =---- 1-(1 -f Кcos 29) КЪ(кбп),

^ГА6 /С fl = Ki sin" 8 + К_а cos² в.

Произведя такие же операции в уравнением (42,6), получим

ia>(кбп) = 4- &(1 + A, cos 29) (nv) +—Ц(кбп).

и I УС 'ъ

-Qf = Х«3А7\ Х«= -pf- = 3V»<»* + Xj. (««- n_tn_k).

Для колебаний 8Т со ехр (/кг — Ш) находим закон дисперсии to = № (Хц cos² 0 + х_х sin² 9).

§ 43. Механика холестериков

Холестерические жидкие кристаллы (холестерики) отличаются от нематиков отсутствием среди их элементов симметрии центра инверсии. Направления же п и — п директора по-прежнему ос­таются эквивалентными (см. V, § 140).

Отсутствие центра симметрии приводит к тому, что свободная энергия деформации может теперь содержать линейный по произ­водным член— псевдоскаляр n rot п. Ее общий вид может быть представлен в виде

F_d = ^- (div nf + (n rot n + qf + [n rot n]», (43,1)

где q — параметр с размерностью обратной длины. Это отличие приводит к радикальному изменению характера равновесного (в отсутствие внешних воздействий) состояния среды. Оно не является теперь пространственно однородным (n = const), как у нематиков.

Равновесному состоянию холестерика отвечает распределение направлений директора, для которого

div п = 0, n rot n = — q, [n rot п] = 0 (43,2)

(свободная энергия (43,1) минимальна — равна нулю). Эти урав­нения имеют решение:

п_х = cos qz, tty = sin qz_f n_z = 0. (43,3)

Эту структуру (ее называют геликоидальной) можно представить себе как результат закручивания вокруг оси z нематической среды, первоначально ориентированной своими n = const в одном напра­влении в плоскости х, у. Ориентационная структура холесте­рика оказывается периодической вдоль одного направления в про-

^х) При вещественных k вещественная величина to должна быть положитель­ной — колебания должны затухать (а не самопроизвольно усиливаться) со вре­менем. Все найденные в задачах 2 и 3 законы дисперсии этим свойством обладают.

странстве (оси г). Вектор п возвращается к прежнему значению через каждый интервал длины 2nlq вдоль оси г, но поскольку на* правления п и —п эквивалентны, истинный период Повторяемости структуры вдвое меньше — равен nlq. Разумеется, макроскопиче­ское описание геликоидальной структуры холестерика форму­лами (43,3) имеет смысл, лишь если шаг структуры велик по срав­нению с молекулярными размерами. В реальных холестериках это условие выполняется (nlq ~ Ю^-5 см).

При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холестериков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всего, меняется выражение F_d, с которым должно вычисляться, согласно определению (36,5), молекулярное поле h. Далее, нали­чие линейного по производным члена в свободной энергии приво­дит к появлению различия между изотермическими и адиабати­ческими значениями модуля /(₂ (ср. конец § 36). В сформулиро­ванной в §§ 40, 41 системе гидродинамических уравнений основ* ными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиа­батические значения (как функции р и 5) модуля упругости..

Наконец, существенное изменение в гидродинамических урав­нениях холестериков по сравнению с уравнениями для немати­ков состоит в появлении дополнительных членов в диссипативных частях уравнений — в тензоре напряжений ст₍'ь тепловом потоке q" и величине N в правой стороне уравнения (40,3) (F. М. Leslie, 1968);

Ofk = (0"«)нем + Р (ПсвЫт + П_кец_т) «m d_tT,

N_i = (N_i)_seM + ve_lkln_hd_lT, (43,4)

Qi = (<7г)нем + ^_mti_hhi + рх (e_lmin_h + е_1тф>) n_mv_ik

(члены с индексом «нем» обозначают выражения из гидродинамики нематиков). Дополнительные члены в этих соотношениях являются не истинными, а псевдотензором и псевдовекторами. Тем самым нарушается симметрия относительно пространственной инверсии, и именно по этой причине эти члены отсутствуют в гидродинамике нематиков. Обратим внимание на то, что построение аналогичных членов, которые были бы истинными тензорами или векторами, невозможно в силу требования инвариантности уравнений отцр-, сительно изменения знака п. Так, член вида const (riid_hT + + п_кд_гТ) в aik или член вида const, h в q меняли бы знак вместе с п, между тем как тензор напряжений и тепловой поток должны быть инвариантны по отношению к этому преобразованию. Ана­логичным образом, член вида const - VT в N невозможен, поскольку Он инвариантен по отношению к изменению знака п, между тем как величина N (определяющая производную dnldt) должна была, бы изменить знак.

Коэффициенты в выражениях (43,4) связаны друг с другом соотношениями, следующими из принципа Онсагера. Для приме­нения этого принципа (ср. § 41) выберем в качестве величин х_а — «термодинамических потоков» — величины qi, Nt. Из вида диссипативной функции (40,21) (точнее, из вида функции 2R/T, определяющей рост энтропии) видно, что соответствующими «термодинамическими силами» Х_а будут величины —v_ikIT, diT/T², — hJT. Надо также учесть, что величины а'ш четны, а <7;, N_t нечетны по отношению к обращению времени (как это видно из места, занимаемого ими в уравнениях (40,3), (40,7) и (40,8)). Если величины х_а и х_ь имеют одинаковую четность по этому преобразованию, то соответствующие кинетические коэф­фициенты связаны равенством у_аЬ — у_Ьа; если же четности х_а и Хь различны, то у_аЬ = —Уьа- Сравнив теперь «перекрестные» Коэффициенты в соотношениях (43,4) *), найдем равенства

Vj = \Т, pj = рГ.

Таким образом, можно окончательно переписать (43,4) в виде

а'ш = (<&)■«, - V< (n_t [nvrjft -f n_k [nvT],),
N=I^, + v[nvTJ, (43,5)

q = q_HeM + vr [nh] + 2pT [n (o-.n)],

Где символ (у. n) обозначает вектор с компонентами v_lkn_h.

Итак, в механике холестериков появляется зависимость тен­зора напряжений и вектора N от градиента температуры²). Форма этой зависимости (векторное произведение [nvT]) озна­чает, 4Tq градиент температуры приводит к появлению закручи­вающих моментов, действующих на директор и на массу жидкости. В то же время молекулярное поле (сопровождающее вращение директора относительно жидкости) и градиенты скорости жидкости Приводят к появлению в ней тепловых потоков.

Одно из своеобразных, специфических для холестериков гидро­динамических явлений может быть наглядно описано, ка^ «про­сачивание» жидкости сквозь остающуюся неподвижной гелико­идальную структуру (W. Helfrich, 1972). Оно состоит в следую­щем,

*--------.—

*) При сравнении необходимо тщательно следить за порядком индексов В множителе еш!

⁸) Напомним (см. VI, § 49), что существование среди диссипативных чле­нов в уравнениях движения членов с градиентом второй независимой термоди­намической величины (например, давления) запрещено требованиями закона возрастания энтропии. Наличие таких членов привело бы к появлению в дисси­пативной функции членов с произведениями VpVT, hVp, которые в отсутствие членов с квадратом (Vp)¹ сделали бы невозможным обеспечение положитель­ности R,

«431

механика холестериков

Представим себе ходестеричеекую среду, геликоидальная структура которой закреплена в пространстве (скажем, за счет определенных эффектов сцепления с ограничивающими среду стенками). Покажем, что в этих условиях возможно существова­ние однородного по пространству равномерного потока жидкости в направлении оси структуры (ось г).

Поскольку структура (43,3) отвечает равновесному состоянию среды, она обращает в нуль молекулярное поле, h =*0. Наличие «просачивающегося» потока несколько искажает структуру и со­ответственно создает малое (вместе со скоростью потока о) моле­кулярное поле. Определим это поле исходя из уравнения движе­ния директора (40,3). Поскольку поле п (г) (в нулевом по скорости приближении) неподвижно, dnldt — 0, а поскольку поток жидко­сти предполагается однородным (»_г = v — const), и o_th = Q_ik =* *= 0. В результате уравнение сводится к равенству

(vV)n = ₀-_2r- = —.

С функцией п.(г) из (43,3) находим отсюда

h = _Tt;[qn], (43,6)

где вектор q (с абсолютной величиной а) направлен вдоль оси z_f В рассматриваемых условиях выражение диссипативной функ­ции (40,21) сводится к 2R = h²/y и с h из (43,6):

2R - yv²q\ (43,7)

Этим дается энергия, диссипируемая в единицу времени в едийицв объема жидкости. При стационарном движении эта энергия ком­пенсируется работой внешних источников, поддерживающих дей­ствующий вдоль оси z градиент давления р' = dpldz, Плотность действующих в среде объемных сил как раз дается градиентом —Vp; работа этих сил (в единицу времени в единице объема) есть —p'v и приравняв ее 2R найдем скорость «просачивания»

v = \p'\lyq². (43,8)

По отношению к частице жидкости, протекающей «сквозь» гели­коидальную структуру, директор п вращается с угловой скоростью vq. Это вращение сопровождается «трением», характеризуемые коэффициентом у; им и определяется скорость течения.

В реальных условиях скорость не может быть постоянной по всей ширине потока — она должна обращаться в нуль на стенках; ограничивающей поток трубки. Падение скорости происходит в слое некоторой толщины 6. Но единственным параметром длины, характерным для рассматриваемого движения, являетсй величина 1/q. Если принять, что все коэффициенты вязкости холестерика имеют одинаковый порядок величины, то отсутствуют также и ка«кие-либо безразмерные параметры, которые не были бы ~1. Очевидно, что в этих условиях возможно лишь б ~ l/q. Таким образом, при течении по трубке большого по сравнению с \lq ра­диуса формула (43,8) будет справедлива везде, за исключением лишь очень тонкого (толщина порядка шага геликоидальной структуры) пристеночного слоя.

§ 44, Упругие свойства смектиков

По принятой терминологии к категории смектжеских жидких кристаллов (или смектиков) относятся анизотропные жидкости разнообразной слоистой структуры. По крайней мере некоторые из них представляют собой тела с микроскопической функцией плотности молекул, зависящей только от одной координаты (ска­жем, z) и периодической по ней, р = р (z). Напомним (см. V, § 128), что функцией плотности определяется распределение вероятностей различных положений частиц в теле; в данном слу­чае можно говорить о различных положениях молекул как це­лого, т. е. р dV есть вероятность центру инерции отдельной моле­кулы находиться в элементе объема dV. Тело с функцией плот­ности р (г) можно представлять себе как состоящее из свободно смещающихся друг относительно друга плоских слоев, располо­женных на одинаковых расстояниях друг от друга. В каждом из Слоев расположение центров инерции молекул беспорядочно, й в этом смысле каждый из них представляет собой «двумерную жидкость», жидкие слои, однако, могут быть как изотропными, так и анизотропными. Это различие может быть связано с характе­ром.упорядоченной ориентации молекул в слоях. В простейшем случае анизотропия распределения ориентации задается всего Одним направлением п (скажем, направлением «длинной оси» молекулы). Если это направление перпендикулярно плоскости слоев, слои изотропны, так что ось z является осью аксиальной симметрии тела; такова, по-видимому, структура так называемых смектиков А. Если же направление п наклонно к плоскости х, у, то в этой плоскости появляется избранное направление и осевая симметрия исчезает; такова, по-видимому, структура так называе­мых смектиков С.

Мы будем рассматривать ниже только более простые смектики А (и говорить о них просто как о смектиках). Во всех известных смектиках А, помимо аксиальной симметрии вокруг оси г, имеет место также и эквивалентность обоих направлений оси г. Если смектик обладает еще и центром инверсии, то его макроскопиче­ская симметрия (т. е. точечная группа симметрии) такая же, как у нематиков; микроскопическая же симметрия, а с нею и механи­ческие свойства, конечно, совершенно разные.

По поводу сказанного до сих пор надо сделать следующую очень важную оговорку. Существование структуры с непостоянной вдоль объема тела функцией плотности предполагает достаточную малость смещений, испытываемых малыми участками тела в резуль­тате тепловых флуктуации. Между тем для структуры с р = р (г) эти флуктуационные смещения неограниченно растут при увеличении размеров тела (см. V, § 137). Строго говоря, это означает невоз­можность существования одномерной периодической структуры в неограниченной по своим размерам среде. Фактически, однако, смысл этого утверждения оказывается весьма условным ввиду медленности (всего логарифмической) возрастания флуктуации при увеличении размеров тела. Оценки (использующие типичные значения материальных констант известных смектиков) показы­вают, что разрушение одномерной периодической структуры могло бы произойти лишь при практически нереальных огромных раз­мерах и, таким образом, в любой реальной постановке вопроса структура р (г) оказывается осуществимой.

Подчеркнем в то же время, что с разрушенной флуктуациями структурой р (г) (т. е. в которой стало уже р = const) среда отнюдь не становится обычной жидкостью. Принципиальное отличие состоит в свойствах корреляционной функции флуктуации плот­ности в различных точках пространства: (бр (г^ бр (г₂)). В обыч­ной жидкости эта функция изотропна и убывает при г = | r₂—г_х | -> оо по экспоненциальному закону (см. V, § 116). В системе же с р = р (г) корреляционная функция остается (при увеличении размеров тела) анизотропной и убывает при г -> оо лишь по мед­ленному, степенному закону, причем тем медленнее, чем ниже температура (см. V, § 138).

Приступая к построению механики смектических сред, надо начать с отыскания выражения для плотности свободной энергии их деформации. Ввиду микроскопической однородности среды в плоскости х, у смещения ее точек в этой плоскости связаны с изменением энергии лишь постольку, поскольку они приводят к изменению плотности вещества. Имея это в виду, выберем в ка­честве основных гидродинамических переменных (помимо темпе­ратуры, предполагающейся постоянной вдоль среды) плотность р и смещение и_г = и точек среды вдоль оси г. Энергия деформации зависит от изменения плотности р—р₀ (р₀ — плотность недефор-мированной среды) и от производных смещения и по-координатам. При этом первые производные ди/дх, duldy вообще не могут входить в квадратичную часть свободной энергии: если повернуть тело как целое вокруг осей х или у, то эти производные изменятся, между тем как энергия должна остаться неизменной *).

Как всегда в теории упругости, изменения всех величин в про­странстве будут предполагаться достаточно медленными, так что энергия деформации определяется первыми неисчезающими членами разложения по степеням пространственных производных.

^х) В упругую энергию твердых тел эти производные входят в комбина­циях u_xZ и ttyz с производными от и_х и и_у; эти комбинации при указанном повороте не изменятся.

Кроме того, однако, будет предполагаться еще и более далеко идущее условие: сами смещения и предполагаются настолько малыми, что слои остаются везде почти параллельными одной и той же плоскости х, у ^[73] ).

В этих предположениях и с учетом симметрии среды свободная энергия деформации смектика дается следующим выражением:

F_d = F-F₀(T) =

= -^(Р-Ро)⁸ + С(Р-Ро)^-+^ШЧ

+ 4-(А_А«Л Д_А(44,1)

Член вида ^а) {ди/дг) А_хи запрещается предполагаемой здесь экви­валентностью обоих направлений оси г, т. е* симметрией по отно­шению к преобразованию и -+ —и, г —г, х, у -*• х, у (отраже­ние в плоскости х, у) или и -> —и, г ->- —г, у -*■ —у, х х (пово­рот вокруг горизонтальной оси второго порядка — оси х); по этой же причине отсутствует член вида (р — р₀) Дх«. Учет пер­вого члена разложения по вторым производным (отсутствующий в теории упругости, твердых тел) необходим ввиду отсутствия в F_d первых производных по х и у. Условия устойчивости неде­формированного состояния, т. е. условия положительности энер­гии (44,1), гласят

Л>0, В>0, ЛВ>С*. (44,2)

Обозначение коэффициента К_х в (44,1), совпадающее с обозна­чением в (36,1), выбрано не случайно. Действительно, деформацию слоистой структуры смектиков можно описывать распределением директора п (г), понимая его как нормаль к деформированным слоям, задаваемым уравнениями «(г) = const. При малом иска­жении слоев

ди ди.,.. _оч

^Пх~~дГ' ⁿ«~~~dJ~' (⁴⁴>^[74])

формированного однородного распределения, *) Такой член фигурировал в V, § 137,

и тогда (А±ы)^[75] = (div п)^я, т. е. как раз та величина, которая фигурирует в соответствующем члене в (36,1). Коэффициенты же

В и С в (44,1) характерны для специфической кристаллической природы смектиков, отличающих их от нематиков ^г).

Обратим внимание на- то, что в приближении (44,3) n rot п л? «rot* п = 0. Поэтому член вида n rot п в свободной энергии (а тем самым и холестерическое искажение структуры — § 43) в смектиках отсутствует вне зависимости от наличия или отсут­ствия среди его элементов симметрии центра инверсии.

Уравнения равновесия смектика получаются минимизацией полной свободной энергии по переменным р и и при дополнитель­ном условии JpdV = const, выражающем сохранение полной массы тела. Минимизируя разность

\F_ddV-k \pdV

(где % — постоянный множитель Лагранжа) по р, получим равен­ство

-i-(_P-p₀) + C-g- = A,

связывающее изменение плотности с деформацией слоев. Полагая, что р₀ есть плотность при ди/дг = 0, имеем Я. = 0, и тогда

р-Ро= -Рот-—-, т = -^-. (44,4)

Безразмерный коэффициент т связан с коэффициентом Пуас­сона о для «стержня», вырезанного из смектика в направлении оси г. Действительно,

р-ро_ у-уо _

ро V₀

(см. (1,6)), где и^—диШ, а и^, и_т —- компоненты тензора

деформации в плоскости х, у. Полагая = и_уу, имеем

_ 1 — т

^J) Подчеркнем, что директор п (понимаемый как избранное направление ориентации молекул в слоях) не является в смектиках (смектиках А) независи­мой гидродинамической переменной. Для переменной п в гидродинамике нема­тиков характерно, что однородный поворот поля п (г) во всем теле не связан с изменением энергии. Именно поэтому медленное изменение п вдоль тела свя­зано лишь с малым изменением энергии, последняя зависит только от производ­ных от п и может быть разложена по ним. В смектиках же всякий такой поворот меняет ориентацию относительно слоистой структуры и был бы связан со значи­тельным изменением энергии. Отметим, что в смектиках С, где директор на­клонен к нормали под некоторым определенным углом, однородный поворот направлений п вокруг нормалей с сохранением величины угла наклона снова не был бы связан с изменением энергии. Поэтому здесь снова появляется новая гидродинамическая переменная — проекция п на плоскость слоев.

U_xx — а ^игг

и, сравнив с определением (5,4):

о = (1—/п)72. (44,5)

При т = 0 коэффициент о принимает характерное для жидкости значение о = 1/2.

Исключив из (44,1) изменение плотности с помощью (44,4), получим свободную энергию, выраженную только через и:

где

В' = B—CVA. (44,7)

Варьируя полную свободную энергию по и, найдем теперь после нескольких интегрирований по частям:

б J F_d dV = - J F_t6u dV_t (44,8)

где

F, = PoB'-|j--/CiAiu. (44,9)

Очевидно, что F_z есть (отнесенная к единице объема) сила, дей­ствующая в направлении оси г в деформированном смектике при условии, что изменение плотности уже «подстроилось» под дефор­мацию.

В равновесии F_z — 0, так что смещение и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

_PoB'-g--/CiAi«=0. (44,10)

Если на тело действуют еще и приложенные к нему объемные внешние силы, то они должны быть добавлены к левой стороне уравнения (ср. (2,8)).

Отношение (/(₁/В'р₀)^1/2 имеет размерность длины и грубая его оценка есть: (KJB'p₀)¹'² ~ а, где а — период одномерной структуры (расстояние между слоями). Если смектик подвергнут деформации, существенно меняющейся в плоскости х, у на рас­стояниях ~/_х > а, то из (44,10) следует, что в направлении оси г деформация испытывает существенное изменение лишь на расстояниях /ц ~ 1\/а > /_х.

В качестве примера найдем гриновскую функцию уравнения (44,10), т. е. смещение и = G_zz (г) = G (г) в переменной точке г, вызванное единичной сосредоточенной силой, приложенной в точке г = 0 и действующей в направлении оси г (ср. задачу к § 8). Эта функция удовлетворяет уравнению

роВ' -g- - KxL\G + б (г) = 0. (44,11)

Совершая над этим уравнением преобразование Фурье (т. е. умножив его на er^iVx и проинтегрировав по d?x), находим для фурье-компонент функции G (г) выражение

где k\ = k\ 4- ky. Обратное фурье-преобразование дает искомую функцию в виде интеграла

е p^ikr d?k

G(r)=f г-ет- (44,12)

Этот интеграл логарифмически расходится при к ->- 0. Для прида­ния ему определенного смысла надо исключить иеремещение тела как целого, предположив закрепленной некоторую условно вы­бранную его точку, г = г₀; тогда в числителе подынтегрального выражения надо писать e^ikT—е^{кг° и расходимость устраняется.

Вернемся еще раз к вопросу о влиянии тепловых флуктуации на свойства смектиков — на этот раз на их упругие свойства. Наиболее определенным образом вопрос может быть поставлен следующим образом: как меняется под влиянием флуктуации де­формация, создаваемая приложенной к телу сосредоточенной си­лой, т. е. как меняется гриновская функция G (г)? Оказывается, что это изменение сводится к замене в выражении (44,12) к\ и к\ соответственно на

где а — величина порядка периода структуры ^х). В свою очередь такое изменение можно наглядно интерпретировать как изменение эффективных значений упругих модулей В' и /С_х при уменьшении характерных значений волнового вектора деформации (т. е. уве­личении ее характерной протяженности ~\1к). Мы видим, что эффективное значение В;_фф убывает при k_z -*■ 0 как [In (1/а&₂) И^/5, а Яхэфф растет при £_х->0 как [In (\lak_x) ]^2/5. Фактически, од­нако, эти эффекты могли бы стать существенными лишь при пра­ктически нереальных огромных размерах.

Дата добавления: 2014-11-06