Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И МЕТОД ИХ РЕШЕНИЯ

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными даётся формулой:

.

Эта формула задаёт y как функцию x неявно. Если уравнение решить относительно y, то получим явное решение дифференциального уравнения.

Пусть задано дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:

;

Нужно разделить переменные: в левой части уравнения собрать все у и дифференциал dу, в правой части все х и дифференциал dx.

;

Умножаем обе части на (-1), получаем:

;

Левую часть нужно избавить от , а правую часть – от . Для этого обе части делим на и получаем:

;

После сокращения получим уравнение с разделенными переменными:

;

После чего интегрируем обе части уравнения:

.

Например: Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:

при и (начальные условия)

Заменяем получаем:

;

Левую часть освобождает от х, для чего обе части умножаем на

;

Правую часть освобождаем от у, деля обе части на у:

;

Получили уравнение с разделенными переменными, берем интегралы левой и правой части, получаем:

Левый интеграл табличный, а правый решаем методом подстановки.

;

Раскрываем оба интеграла:

;

Для удобства постоянную интегрирования С берем под знак логарифма.

Потенцируем и получаем:

, или - это есть общее решение дифференциального уравнения.

Находим частное решение. Для этого в общее решение подставляем начальные условия у и х и находим численное значение С:

, откуда

Полученные значение С подставляем в общее решение и получаем:

- частное решение дифференциального уравнения.

Проверка (основана на определении, что решением дифференциального уравнения называется всякая функция, при подстановки которой и её производных в уравнение получаем тождество): ;

;

;

Возводим обе части в куб:

;

.

Примечание. Основные случаи потенцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Уравнение называется однородным, если функция может быть представлена как функция отношения своих аргументов.

.

Однородное дифференциальное уравнения первого порядка приводится к виду уравнения с разделяющимися переменными подстановкой:

,

где U – новая неизвестная функция.

Например:

Учитывая, что получаем

Находим :

Делим числитель и знаменатель правой части равенства на , получаем:

(1)

Вводим новую переменную , (2)

т.е. , откуда

(3)

Подставляем значения из равенств (2) и (3) в равенство (1), получаем:

Путем преобразований делим переменные (уравнение решается относительно U)

Интегрируем обе части:

(4)

Подставляем значение U из (4) во (2):

-общее решение.

Дата добавления: 2014-10-15