Средствами матричного исчисления

По формулам Крамера;

Методом Гаусса;

Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r (A) =r (A₁), где

, .

Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.

~

Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки:

~ ~

Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

~

Разделим элементы третьей строки на (10).

~ ; ~ .

Найдем определитель матрицы А.

.

Следовательно, r (A) =3. Ранг расширенной матрицы r (A₁) так же равен 3, т.е.

r (A) =r (A₁)= 3 Þ система совместна.

1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход).

2. Из последнего уравнения находим х₃ и подставляем его во второе, находим х₂, и зная х₃, х₂ подставляем их в первое уравнение, находим х₁ (обратный ход).

Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу

~

в виде системы трех уравнений:

Þ х₃=1

х₂=х₃ Þ х₃=1

2х₁=4+х₂+х₃ Þ 2х₁=4+1+1 Þ

Þ 2х₁=6 Þ х₁=3

Ответ: х₁=3, х₂=1, х₃=1.

2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

; ; .

Вычислим определитель системы Δ:

Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ₁, Δ₂, Δ₃. Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов.

Находим по формулам неизвестные:

; ;

Ответ: х₁=3, х₂=1, х₃=1 .

3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы.

А×Х=В Þ Х=А^-1× В, где А^-1 – обратная матрица к А,

- столбец свободных членов,

- матрица-столбец неизвестных.

Обратная матрица считается по формуле:

(*)

где D - определитель матрицы А, А_ij – алгебраические дополнения элемента а _ij матрицы А. D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле:

А_ij= (-1) ^i+j M_ij .

Запишем обратную матрицу.

.

Сделаем проверку по формуле: А^-1× А=Е.

А^-1А =

Вывод: так как произведение А^-1× А дает единичную матрицу, то обратная матрица А^-1 найдена верно и решение системы определяется по формуле Х=А^-1×В.

.

Ответ: х₁=3, х₂=1, х₃=1.

Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим:

Т. к. неизвестные х₁, х₂, х₃ обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.

Пример 6. Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы.

Решение:

Дата добавления: 2014-11-07