Примеры решения задач по теме. «Механические колебания и волны»

«Механические колебания и волны»

Задача 1. К невесомой пружине, коэффициент упругости которой 200 Н/м, прикреплен груз массой 1 кг. Груз смещен на 10 см от положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить наибольшее и наименьшее ускорения груза. Трением пренебречь.

Дано:

k = 200 Н/м

m = 1 кг

А₀ = 10 см = 0,1 м

a_mах -?; a_min -?

Решение.

Под действием силы упругости груз совершает свободное гармоническое колебание, уравнение которого запишем в виде:

. (1)

где А₀ – амплитуда колебания, w – циклическая частота.

Продифференцировав выражение (1) по времени, определим скорость груза

, (2)

после дифференцирования скорости по времени определим ускорение:

. (3)

Так как

(4)

то:

. (5)

Ускорение имеет максимальное значение при x = A₀, т.е. при наибольшем отклонении от положения равновесия:

. (6)

В положении равновесия при x = 0 ускорение .

Проверка размерности расчетной формулы:

.

Подставляя числовые значения в выражение (6), получим:

.

Ответ: наибольшее ускорение груза равно 20 , наименьшее ускорение груза равно нулю.

Задача 2. Материальная точка участвует одновременно в двух перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

(1)

, (2)

где А₁ = 1 см; ₁ = с^-1; А₂ = 2 см; ₂ = /2 с^-1.

Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Дано:

;

А₁ = 1 см = 0,01м;

А₂ = 2 см = 0,02м;

w₁ = p с^-1;

w₂ = p/2 с^-1

y= f (х)?

Решение.

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла:

. (3)

Используя это соотношение и отбросив размерности x и y, можно написать:

;

,

откуда

или . (3)

Выражение (3) есть уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ. Как показывают уравнения (I) и (2), амплитуда колебаний точки по оси OX равна 1, а по оси ОУ - 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты – от -2 до + 2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения y, соответствующие ряду значений x удовлетворявших условию 1:

x y = х y =

- 1 0 0 ± 1,41

- 0,75 ± 0,71 0,5 ± 1,73

- 0,5 ± 1 1 ± 2

1 x

-1

Рис.

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины - сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки, та представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд.

Далее определим направление движения точки. Из уравнений (1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Т_х = 2 с, а по вертикальной оси Т_у = 4 с.

Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание по оси ОХ, она совершает только половину полного колебания по оси OY. В начальный момент (t = 0) имеем: х = 1, у = 2 (точка находится в положении 1). При t = 1 с получим: х = -1 и у = 0 (точка находится в вершине параболы). При t = 2 с получим: х = 1 и у = -2 (точка находится в положении 2). После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Ответ: уравнение движения точки есть уравнение параболы; траектория движения точки изображена на рисунке.

Задача 3. Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить период колебаний и частоту.

Дано:

;

__________________

Решение.

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2p. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии, колеблются с разностью фаз, равной

(1)

Решая это равенство относительно l, получаем:

(2)

По условию задачи D j = p.

Подставляя значения величин, входящих в выражение (2), получим:

.

Скорость u распространения волны связана с длиной волны l и периодом колебаний Т отношением:

, (3)

где – частота колебаний

Из выражения (3) определяем частоту колебаний:

.

Период колебаний

.

Проверка размерности расчетных формул:

; .

Вычисление: ;

Ответ: частота колебаний равна 50 Гц, период колебаний равен 0,02 с.

Задача 4. Тонкое кольцо радиуса R совершает малые колебания около точки О (рис.). Найти период колебаний, если они происходят в плоскости рисунка.

Дано: R - радиус кольца

_____________________

T -?

Рис.

Решение.

При отклонении центра кольца от вертикали, проходящей через точку подвеса (рис.) на небольшой угол () на кольцо действует момент силы тяжести, возвращающий его в положение равновесия.

. (1)

Основное уравнение динамики твердого тела выглядит в данном случае следующим образом:

, (2)

где М - момент силы тяжести, J – момент инерции кольца относительно точки O.

Согласно теореме Штейнера

(3)

где – момент инерции кольца относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости кольца; .

Следовательно,

(4)

Подставляя (1) и (4) в (2), получим:

, (5)

откуда приходим к уравнению малых колебаний кольца:

, (6)

где

- круговая частота колебаний. (7)

Из формулы (7) выражаем период колебания кольца:

.

Проверка размерности: [T]=

Ответ: период колебаний кольца

Задача 5. Наблюдатель, стоящий на станции, слышит гудок проходящего электровоза. Когда электровоз приближается, частота звуковых колебаний гудка равна , а когда удаляется - . Принимая, что скорость звука известна, определить: 1) скорость электровоза;

2) собственную частоту колебаний гудка.

Дано:

- частота воспринимаемого сигнала при приближении электровоза;

- частота воспринимаемого сигнала при удалении электровоза;

- скорость звука.

________________

1) -?

2) -?

Решение.

Согласно формуле, выражающей частоту воспринимаемого сигнала в эффекте Доплера:

, (1)

где - частота звука, воспринимаемая движущимся приемником;

- частота звука, посылаемого источником;

- скорость движения приемника звука;

- скорость движения источник звука;

- скорость звука.

По условию задачи скорость приемника , следовательно,

, (2)

(электровоз приближается к наблюдателю); (3)

(электровоз удаляется от наблюдателя). (4)

Из уравнений (3) и (4) выражаем скорость источника звука:

. (5)

, (6)

. (7)

Ответ: скорость электровоза ,

собственная частота колебаний гудка .

Дата добавления: 2014-11-07