Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей Х и У.

Выберем нулевую начальную фазу первого колебания (начало отсчета времени выберем таким, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю). Тогда уравнения можно записать в виде:

и (1),

где - разность фаз обоих колебаний .

Чтобы определить траекторию результирующего колебания, надо из уравнений (1) исключить время. Запишем уравнения складываемых колебаний

(2)

(3).

Но , поэтому уравнение (3) запишем в виде

.

С учетом того, что (см. уравнение (2)),

или .

Возведем это выражение в квадрат: .

Перепишем уравнение в виде: .

Так как , (4).

Это уравнение представляет собой уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей произвольно.

Рассмотрим частные случаи, вытекающие из этого уравнения:

1). Разность фаз . В этом случае уравнение (4) принимает вид . Откуда получается уравнение прямой , проходящей через начало координат.

2). . Уравнение принимает вид .

Откуда . Результирующее движение и в этом случае представляет собой гармоническое колебание.

3). . Уравнение имеет вид , т.е. уравнение эллипса, проведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При А=В эллипс вырождается в окружность.

Комментарий: Если , уравнения движения можно записать и . В момент тело находится в т.1. В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата у становится отрицательной. Отсюда следует, что движение совершается по часовой стрелке.

При уравнения колебаний имеют вид и . Движение происходит против часовой стрелки.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет довольно сложный вид кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Дата добавления: 2014-11-07