Уравнение плоской бегущей волны

Бегущими волнами называют волны, которые переносят в пространстве энергию.

В общем случае уравнение волны представляет собой функцию времени и трех координат. Остановимся на частном случае, когда волна плоская гармоническая и распространяется вдоль оси . В этом случае волновые поверхности перпендикулярны оси и смещение будет зависеть только от и t, т.е. .

Если для (или колебания точек, лежащих в плоскости ) описываются функцией , то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на . Поскольку для прохождения волной расстояния требуется время (где - координата точки В, v - скорость распространения волны). Поэтому колебания частиц в плоскости будет отставать от колебаний частиц в плоскости на время , т.е. будут иметь вид:

Уравнение (1) называют уравнением плоской бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то .

В общем случае уравнение плоской бегущей волны имеет вид: , где А - амплитуда волны, ω - циклическая частота, - фаза плоской волны.

Предположим, что фаза волнового процесса остается постоянной, тогда (2). Это выражение определяет связь между t и тем местом х, где фаза имеет зафиксированное значение. Тогда после дифференцирования уравнения (2) по х и t получим: . Сократив на : . Откуда . Таким образом, скорость распространения волны – это скорость перемещения фазы, поэтому ее называют фазовой скоростью.

Если уравнение (1) дважды продифференцировать (сначала по t, затем по х), то получим ; ;

;

Таким образом, (3); (4).

Подставляя (3) в (4): или - получили уравнение плоской бегущей волны вдоль ось х, его называют волновым уравнением.

Дата добавления: 2014-11-07