Підстановкою порядку на множині з елементів називається взаємно однозначне відображення множині на себе

Підстановочні матриці. Визначник матриці над.

У загальному випадку елемент матриці визначається як, де - рядок матриці з номером, а - стовпець матриці з номером.

Лінійні перетворення і матриці над полем.

Відображення: називається лінійним оператором з у, якщо виконуються наступні умови.

,,,.

Матрицею розміру над полем називається прямокутна таблиця, що складається з рядків і стовпців і містить елементів з.

Елемент матриці індексуються номером рядка та стовпця, на перетину яких він знаходиться.

Транспонуванням матриці розміру називається операція побудови матриці (інше позначення -) розміру, де.

Сумою матриць і розміру називається матриця, де. Множення матриці на константу виконується покомпонентно.

Лінійною формою над кільцем з вектором змінних і коефіцієнтами, називається функція. Для лінійної форми часто використовується позначення. Зауважимо, що можливий випадок, при.

Добуток матриці розміру на матрицю розміру визначено лише у випадку, коли і.

В окремому випадку множення матриці-рядка на матрицю-стовпець, результат визначається як (тобто, при цьому розглядається як вектор).

Рангом матриці називається ранг системи її векторів-стовпців.

Теорема. Ранг матриці дорівнює рангу системи її векторів-рядків.

Матриця розміру називається квадратною, якщо. Число стовпців квадратної матриці називається її порядком. Діагоналлю з номером квадратної матриці порядку називається підмножина її елементів виду,. При, діагональ називається головною, всі інші діагоналі називаються побічними.

Множина квадратних матриць є некомутативним кільцем.

Нулем є матриця, що складається з усіх нулів. Одиницею - матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи - нулю.

Множення квадратної матриці порядку на матрицю-стовпець можна розглядати як операцію над векторами. Така операція є лінійним перетворенням - мірного векторного простору. Матриця називається оборотною, якщо вона здійснює взаємно однозначне перетворення.

Нехай - оборотна матриця. Матрицею, оберненою до, називається матриця, для якої виконуються умови.

Нехай упорядковано, тоді йому відповідає послідовність номерів. Після застосування підстановки порядок розташування елементів зміниться і прийме вигляд.

Підстановку можна представити у виді дворядкового запису:. Очевидно, зворотне перетворення має вигляд.

Розглянемо квадратну матрицю порядку, у якої елементи з індексами дорівнюють одиниці, а інші дорівнюють нулеві. Наприклад, для підстановки, одержимо.

Очевидно,, тобто матриця реалізує задану підстановку. Виходячи з визначення підстановки, підстановочні матриці оборотні. Якщо матриця -підстановочна, то.

Критерій оборотності матриці формулюється за допомогою поняття визначника (детермінанта). Детермінант матриці над полем є елементом поля. Він є функцією всіх елементів матриці і позначається через. Детермінант записується також у виді.

Дата добавления: 2014-10-15