Теперь рассмотрим решение типового примера

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем.

К элементарным преобразованиям относятся:

1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2) Перестановка уравнений местами.

3) Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема. (Кронекера – Капелли) Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Метод Гаусса.

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим:

, где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Применяя метод Гаусса исключения неизвестных, решить систему линейных уравнений. Сделать проверку найденного решения.

. (1)

Решение: Запишем расширенную матрицу этой системы:

У этой матрицы коэффициент a ₁₁ отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами строки, поставив первым ту, в которой коэффициент в первом столбце не равен нулю.

Проведем следующие преобразования матрицы:

1)поскольку a ₁₁¹0, первую строку оставим без изменений;

2)вместо второй запишем строку, получающеюся, если ко второй прибавить первую, умноженную на -4;

3)вместо третьей строки запишем ее сумму с первой, умноженного на -3;

4)вместо четвертой – ее сумму с первой строкой, умноженной на -5.

Получили матрицу, эквивалентную данной:

.

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a ₂₂ не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x ₁ исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x ₂ — из всех уравнений кроме первого и второго:

.

Теперь исключим неизвестную x ₃ из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a ₃₃ ¹ 0;

2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

.

Полученная матрица соответствует системе

. (2)

Из последнего уравнения этой системы получаем x ₄ = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x ₃ = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x ₂ = 1, а из первого — x ₁ = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x ₄, затем x ₃ и т. д.).

Итак, решением системы (1) является система

Выполним проверку, подставив полученное решение в систему (1). Убеждаемся в тождественном равенстве левых и правых частей системы (1)

Ответ:.

Задача 2.

Для решения задачи 2 изучить раздел 1 – элементы линейной и векторной алгебры. Отметим некоторые теоретические моменты этого раздела, не вошедшие в методические указания по предыдущей задаче.

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Произведение -, при этом коллинеарен.

Вектор сонаправлен с вектором (­­), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0.

Свойства векторов.

1) + = + - коммутативность.

2) + (+) = (+)+

3) + =

4) +(-1) =

5) (a×b) = a(b) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a(+) = a + a

8) 1× =

Дата добавления: 2014-10-15