Решение типового примера. Обратимся к решению типового примера

М

Обратимся к решению типового примера.

Даны координаты вершин пирамиды А₁(1; 0; 3), A₂(2; -1; 3), A₃(2; 1; 1), A₄(1; 2; 5).

1) Наймем длину ребра А₁А₂.

2) Найдем угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄.

3) Найдем уравнение грани (плоскости) А₁А₂А₃.

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

или

x + y + z – 4 = 0

Площадь грани А₁А₂А₃ найдем по формуле, где = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2).

, – вектор нормали к плоскости А₁А₂А₃,.

Получаем, тогда (ед³).

4) Уравнение прямой найдем по формуле задания прямой по точке A₄(1; 2; 5) и направляющему вектору. В качестве такого вектора может выступать вектор – нормаль к плоскости А₁А₂А₃:

,

или в параметрической форме.

Задача 4.

Решение задачи 4 основывается на материале раздела «Кривые второго порядка».

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y² = 2px – уравнение параболы.

6) y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y² = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

Окружность.

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

В окружности (x – a)² + (y – b)² = R² центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением.

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

у

r₁

r₂

F₁ O F₂ х

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a² = b² + c².

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – e².

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие:, то она находится внутри эллипса, а если, то точка находится вне эллипса.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.

Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y

M(x, y)

b

r₁

r₂

x

F₁ a F₂

c

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

Если а = b, e =, то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:.

Парабола.

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы.

Каноническое уравнение параболы имеет вид

y² = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Возможны другие виды парабол:, ветви которой направлены влево; – с ветвями вверх; – с ветвями вниз.

Составить уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется следующее условие: расстояние до точки равно расстоянию до прямой

Решение. Пусть – точка этого множества (см. рис.). Пусть N – основание перпендикуляра, опущенного на прямую, поэтому. По условию задачи:, что означает или, раскрывая скобки и возводя обе части в квадрат,. Переносим выражения в одну часть и приводя подобные, получим или. Получили уравнение параболы с вершиной в точке (0, 3), ветви которой направлены вниз, а параметр.

Ответ: Множество точек представляет собой параболу.

Дата добавления: 2014-10-15