Пример 1.8

Метод деления.

Пример 1.7.

Метод умножения.

Преобразование дробей.

Пример 1.6.

Пример 1.5.

Метод умножения.

Пример 1.4.

Пример 1.3.

Метод деления.

Преобразование целых чисел.

Деление на р (при помощи арифметических действий над величинами с позиционным представлением по основанию q -арифметика основания q). Дано целое число u. Его представление (U_mU_m-1… U₁ U₀)_р по основанию р получаем следующим образом:

U0=U mod p, U1=[U/p] mod p, U2=[ [U/p] / p] mod p, и т.д., пока не получим […[ [U/p] / p]…/p]=0.

Здесь: [х] – ближайшее к х меньшее целое. U mod p – остаток от деления U на p

Перевести (108)₁₀ в двоичную систему счисления:

Итак (108)₁₀ = (1101100)₂

Перевести (108)₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления.

Итак, (108)₁₀ = (6С)₁₆

Умножение на q (при помощи арифметики основания р). Если представление числа u по основанию q имеет вид (U_nU_n-1… U₁ U₀)q, то мы можем, воспользовавшись арифметикой основания р, вычислить многочлен

U_nqⁿ + U_n-1q^n-1+… U₁q +U₀ =u,

воспользовавшись схемой Горнера для вычисления значения многочлена

((…(U_nq+ U_n-1)q+…)q+ U₁)q+ U_0.

Преобразовать (1101100)₂ в десятичную систему счисления

Преобразовать (6С)₁₆ в десятичную систему счисления

Метод деления используется при переходе из “родной” системы счисления в “чужую”, а метод умножения при переходе из “чужой” в “родную” систему счисления.

Заметим, что часто бывает невозможно точно выразить конечную дробь (0,U_-1U_-2… U_-n) с основанием q как конечную дробь (0,U_-1U_-2… U_m) с основанием р. Например, дробь 1/10 имеет бесконечное двоичное представление (0, 0 0011 0011 0011 …)₂. Поэтому определенный интерес представляют методы округления результата до m знаков.

Умножение на р (при помощи арифметики основания q). Дано дробное число u; мы получаем последовательные цифры его представления (.U_-1U_-2…)_p по основанию р следующим образом:

U_-1 =[uP], U_-2=[{uP}P], U_-3=[{{uP}P}P], … где {х} дробная часть х: х mod 1 = х – [х].

Процесс умножения продолжается до тех пор, пока не будет получена дробная часть, равная нулю, в противном случае результат округляется до m знаков, причем, если {…{{up}p}…p} больше 1/2, то U_-m следует увеличить на единицу.

Перевести дробь (0,6875)₁₀ в двоичную систему счисления:

Итак (0,6875)₁₀ =(0,1011)₂

Деление на q (при помощи арифметики основания р). Если представление числа u по основанию q имеет вид (0,U_-1U_-2… U_-n), то можно, используя арифметику основания р, вычислить U_-1q^-1 + U_-2q^-2+… +U_-nq^-n в виде:

((…(U-n/q+ U-n+1)/q+…+ U-2)/q+ U-1)/q

Необходимо внимательно следить за ошибками, которые могут появиться в результате усечения или округления при делении на q; этими ошибками часто можно пренебречь, но не всегда.

Преобразовать дробь (0,1011)₂ в десятичную систему счисления.

Метод умножения при преобразовании дробей используется при переходе из “родной” в “чужую” систему счисления, а метод деления – из “чужой” в “родную”.систему счисления.

1.2.3. Перевод чисел с основанием q=p^k.

Наиболее прост перевод чисел из q -ичной системы в p -ичную (или обратно), если имеет место соотношение q=p^k (k - целое положительное) и обе системы имеют неотрицательные базы.

В этом случае перевод из q –ичной системы счисления в p –ичную производят “поразрядно”, заменяя каждую q –ичную цифру равной ей k –разрядным числом, записанным в p –ичной системе счисления. Перевод из p –ичной системы в q –ичную производят при этом следующим образом. Двигаясь от запятой вправо и влево, разбивают p -ичную запись числа на группы по k цифр. Если при этом самая левая группа или самая правая группа дробной части числа окажутся неполными, к ним приписывают соответственно слева и справа столько нулей, чтобы каждая из них содержала k цифр. После этого каждую группу p –ичных цифр заменяют одной q –ичной цифрой, равной числу, обозначенному этой группой p –ичных цифр.

Большой практический интерес представляет случай, когда p=2 (двоичное основание). В этом случае имеем частный случай двоично-кодированной системы счисления, при котором двоичное число и двоично-кодированное число совпадают. Этот факт используют для более короткой записи двоичных чисел. Обычно берут p=2³=8 (восьмеричная система счисления) и p=2⁴=16 (шестнадцатеричная система счисления).

Дата добавления: 2014-10-15