Примеры

Задача 1. За какое время тело, нагретое до 100^о, охладится до 25^о в комнате с температурой 20^о, если до 60^о оно охладилось за 20 мин. (По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температуры воздуха).

Решение. Пусть в момент времени t после начала охлаждения тела его температура будет Т^о, тогда, с одной стороны, скорость изменения температуры тела выразится формулой . С другой стороны, по закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и воздуха в комнате. т.е. она равна , здесь k - коэффициент пропорциональности, зависящий от массы, теплопроводности, формы тела.

Сравнивая оба полученных выражения для скорости изменения температуры, получим:

(знак минус, т.к. как температура тела уменьшается). Получили ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его, получим общее решение:

. (_*)

Произвольную постоянную С и коэффициент k можно найти из начальных условий. Подставляя в (_*) t=0 мин., Т=100^о, получим .

При t=20 мин., Т=60^о, следовательно:

.

Таким образом, частное решение ДУ, удовлетворяющее всем условиям задачи, будет или , .

Теперь выясним, через сколько времени температура тела станет раной 25^о. Подставляя вместо Т число 25, находим t:

.

Следовательно, тело остынет до температуры 25^о через 80 мин.

Задача 2. Найти: 1) семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания; 2) кривую этого семейства, проходящую через точку

Р(2, 5).

Решение. ДУ искомого семейства у^/=у или . Проинтегрировав обе части равенства, получим или . Определим значение С, соответствующее начальным значениям:

; ; .

Следовательно, - искомая кривая (проходящая через точку Р).

Пример 3. Найти кривые, проходящие через точку N(0, 1), для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная .

Решение. Пусть точка М с координатами (х, у) принадлежит искомой кривой (рис. 1). Тогда МА – отрезок касательной к кривой, причем .

Из треугольника АМВ имеем . По условию . Отсюда .

У

М(х, у)

0 А В х

Рис. 1.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим:

.

Учитывая, что кривые проходят через точку N(0, 1), найдем величину С:

, .

Следовательно, уравнения искомых кривых имеет вид

.

Задание №5 для контрольной работы.

5.1. Найти кривую, проходящую через точку (4, 4), для которой угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

5.2. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью ОY. Известно, что искомая кривая проходит через точку Р(1, 2).

5.3. Найти линию, проходящую через точку М_о(6, 4) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М нормальный вектор с концом на оси ОY имеет длину, равную а=10, и образует острый угол с положительным направлением оси ОY.

5.4. Найти линию, проходящую через точку М_о(1, 1), если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в соотношении 1:2 (считая от оси OY).

5.5. Найти линию, проходящую через точку М_о(2, -1), если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью ОY делится в точке пересечения с осью абсцисс в соотношении 1:1.

5.6. Найти линию, проходящую через точку М_о(1, 2), если отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится в точке касания в соотношении 1:1.

5.7. Найти линию, проходящую через точку М_о(2, е) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси ОХ имеет проекцию на ось ОХ обратно пропорциональную абсциссе точки М. Коэффициент пропорциональности k равен -2.

5.8. Найти кривую, проходящую через точку М_о(4, 3), у которой подкасательная есть среднее арифметическое координат точек касания М (подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью ОХ).

5.9. Найти линию, проходящую через точку М_о(1, 1) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси ОY имеет проекцию на ось ОY, равную 1.

5.10. Найти кривую, для которой сумма длин отрезка касательной к подкасательной пропорциональна произведению координат точки касания М. Кривая проходит через точку М_о(1, 1), коэффициент пропорциональности (подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью абсцисс).

5.11. Пользуясь прямоугольными координатами, найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку. Взять падающие лучи параллельными оси ОХ.

5.12. Составит уравнение кривой, проходящей через точку М_о(а, а) и обладающей следующим свойством: если в любой точке М(х, у) кривой с ординатой РМ провести касательную до пересечения с осью ОY в точке Т, то площадь трапеции ОТМР равна .

5.13. Площадь треугольника, образованного радиус-вектором ОМ любой точки М(х, у) кривой, касательной МР к этой точке и осью ОХ, равна 2. Кривая проходит через точку М_о(2, -2). Найти уравнение этой кривой.

5.14. Составить уравнение кривой, проходящей через начало координат, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой М до оси ОХ находится на параболе .

5.15. Определить кривую, проходящую через точку М_о(1, 1), у которой отрезок касательной от точки касания М до пересечения с осью ОХ равен отрезку ОТ, где точка Т – точка пересечения касательной с осью ОХ.

5.16. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М_о(1, 1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат равен квадрату абсциссы точки касания.

5.17. Найти кривую, проходящую через точку М_о(3, 0), у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

5.18. Найти кривую, проходящую через точку М_о(1, 1) и обладающую тем свойством, что величина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания.

5.19. Найти кривую, проходящую через точку М_о(1, 1) и обладающую тем свойством, что отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси ОY равна квадрату абсциссы точки касания.

5.20. Определить кривую, проходящую через точку М_о(0, 1), у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси ОY, к радиус-вектору равна 1.

5.21. Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную длину а. Кривая проходит через точку М_о(а, е) (подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью абсцисс).

5.22. Найти кривую, проходящую через точку М_о(2, 1), для которой подкасательная равна среднему арифметическому координат точки касания.

5.23. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М_о(3, 5) и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор с концом на оси ОY имеет длину, равную 5, и образует острый угол с положительным направлением оси ОY.

5.24. Найти кривую, проходящую через точку М_о(1, 4) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси ОY имеет проекцию на ось ОY, равную 2.

Раздел 6

Дата добавления: 2014-10-15