Дифференциальное уравнение вида (не содержащее искомой функции у)

II. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

Го порядка.

Найти общее решение дифференциального уравнения

1а.	1б.
2а.	2б.
3а.	3б.
4а.	4б.
5а.	5б.
6а.	6б.
7а.	7б.
8а.	8б.
9а.	9б.
10а.	10б.
11а.	11б.
12а.	12б.
13а.	13б.
14а.	14б.
15а.	15б.
16а.	16б.
17а.	17б.
18а.	18б.
19а.	19б.
20а.	20б.
21а.	21б.
22а.	22б.
23а.	23б.
24а.	24б.

Рассмотрим два типа дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию , т.е. положить , следовательно . Получим дифференциальное уравнение I-го порядка

Схема решений:

Получающееся при этом уравнение I-го порядка решаем одним из методов, рассмотренных ранее.

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющего начальным условиям .

Решение. Произведем понижение порядка дифференциального уравнения. Положим , тогда . Подставив эти значения у^/ и у^// в данное уравнение, получим уравнение:

,

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Производим интегрирование . Отсюда . Но , поэтому:

. (2)

Используем начальные условия и найдем постоянную интегрирования С₁: т.к. при , то получаем , т.е. С₁=3. Тогда:

. (3)

Условие у=1 при х=0 подставим в (3): 1=С₂. Таким образом, из начальных условий вытекает, что С₁=3, С₂=1 и искомое частное решение имеет вид:

.

Замечание. Дифференциальное уравнение вида

приводится к дифференциальному уравнению -го порядка с помощью замены . Например, пусть дано уравнение . Положив , понизим порядок на 2. Получим - уравнение с разделяющимися переменными (уравнение I-го порядка).

2) Если в уравнение не входит независимое переменное х, т.е. уравнение имеет вид:

,

то порядок можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизвестную функцию . Тогда:

.

Схема решения:

При этом получается уравнение I-го порядка относительно неизвестной функции и независимой переменной у.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. В уравнение не входит х. Полагаем . Тогда

.

После подстановки у^/ и у^// в исходное уравнение оно принимает вид

или .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

, , , ,

, .

Следовательно, . Тогда

, , ,

, , .

(При решении уравнения делили на . Если , т.е. , тогда - это одно из решений данного уравнения, не представляющее интереса).

Задание №2 для контрольной работы.

Дата добавления: 2014-10-15