Пример 2.14

Исследование функции на экстремум

Частные производные 2-го порядка.

Пример 2.13.

Градиент функции

Частные производные, дифференциал,

Определение. Частные производные функции z = z (x, y):

если пределы существуют.

Определение. Дифференциалом функции z = z (x, y) называется выражение

Определение. Градиентом функции z = z (x, y) называется вектор

Найти частные производные и (или и ) функции

Решение.

2.68. Найти и :

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):

1) если

2) если

2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:

1) 2)

3) 4)

2.71. Найти модуль градиента функции:

1) в точке А (1; –2; 0);

2) в точке А (0; 1; –2).

Найти частные производные второго порядка функции
z = x ² y ³ + 2 y.

Решение.

= = = 2 y ³ = 2 y ³,

=== 2 х = 6 xy ²,

== =3y ² = 6 xy ²,

== = 3х ² = 6 x ² y.

2.72. Найти частные производные второго порядка :

1) 2)

3) 4)

2.73. Доказать, что если то

Схема исследования функции z = z (x, y) на экстремум:

1. Найти частные производные , и решить систему уравнений

Решениями системы будут критические точки функции.

2. Найти частные производные 2-го порядка.

3. Для каждой критической точки вычислить определитель

Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии < 0/ > 0.

Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.

Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).

4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z = z (x, y).

Дата добавления: 2014-10-15