КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Экстремум функции двух переменных
Понятие максимум, минимум, экстремум функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной. Пусть функция определена в некоторой области , точка . Определение 2.1. Точка называется точкой максимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство . Определение 2.2. Точка называется точкой минимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство . Значение функции в точке максимум (минимум) называется максимум (минимум) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. Отметим, что, в силу определения, точка экстремума лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного. Рассмотрим условия существования экстремума функции (примем без доказательства). Теорема 2.1 (необходимое условие экстремума). Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует.
Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование. Например, функция имеет частные производные , которые обращаются в нуль при . Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом. Например, функция имеет экстремум в точке , но не имеет в этой точке частных производных. Определение 2.3. Точки, в которых хотя бы одна частная производная равна нулю или не существует, то такие точки называются критическими точками. Если речь идет о точках, в которых частные производные первого порядка равны нулю, то такие точки называются стационарными точками.
Для исследования функции в критических точках сформулируем достаточное условие экстремума функции двух переменных. Следующую теорему примем без доказательства. Теорема 2.2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку . Вычислим в точке значения . Обозначим . Тогда: 1. если , то функция имеет экстремум в точке : § максимум, если ; § минимум, если ; 2. если , то функция не имеет экстремума в точке ; 3. если , то экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример 2.1. Найти экстремум функции . Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка: . Чтобы найти стационарные (критические) точки, составляем и решаем систему уравнений: Û или . Таким образом, получаем две стационарные точки и . 2) Находим частные производные второго порядка: . 3) Исследуем характер каждой стационарной точки. а) В точке имеем Тогда . Так как , то в точке функция имеет локальный максимум. . б) В точке имеем . Тогда . Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке равно нулю, т.е. . Можно заметить, что при ; при . Значит, в окрестности точки функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке функция экстремума не имеет. ,
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 702; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |