Математическое описание САР в статике и динамике

Тема 1

Элементы линейной теории автоматического регулирования

После выбора элементов функциональной схемы требуется произвести ее расчет с целью обеспечения заданных показателей качества работы САР. Этим занимается линейная теория автоматического регулирования (ЛТАР). С точки зрения ЛТАР безразлично, из каких элементов составлена САР, важно лишь математическое описание этих элементов.

Для получения математического описания системы обычно составляют описание её отдельных элементов. В частности, для получения управления системы, составляют уравнения отдельных элементов. Совокупность этих уравнений и даёт уравнение системы.

Уравнения, а также структурные схемы автоматической системы называют ее математической моделью.

Математические модели описывают элементы и системы автоматического регулирования в двух режимах: установившемся – статике и переходном – динамике.

1. Модели статики. Понятие о линейных элементах. Линеаризация реальных элементов САР, её способы и предпосылки.

Статикой называется установившийся режим звена или системы, при котором входной и выходной сигналы звена (или системы) постоянны во времени.

Поведение звена (системы) в статике наглядно отражается его статическойхарактеристики, под которой понимается зависимость между установившимися значениями выходной и входной величин.

yвых. уст. = f(xвх. уст.)

По виду статической характеристики различают линейные и нелинейные звенья. Статическая характеристика линейного звена представляет собой уравнение прямой линии:

yвых= kxвх+ yo,

где k= tgα

Звенья, статические характеристики которых не являются прямыми линиями, называются нелинейными.

В основном все звенья в природе являются нелинейными.

Вопрос линейности статических характеристик имеет чрезвычайно важное значение. Дело в том, что в динамике САР описываются дифференциальными уравнениями. И если в САР входит нелинейное звено, дифференциальное уравнение получается нелинейным. Решение нелинейных дифференциальных уравнений – процесс трудоёмкий и сложный. Поэтому на практике нелинейные элементы заменяют их линейными моделями для облегчения их описания. Этот процесс называется линеаризацией. Итак, линеаризация нелинейного звена – замена его линейной моделью с сохранением основных свойств нелинейного звена. Простейшими методами линеаризации являются метод касательной, метод секущей и кусочно–линейная линеаризация.

При линеаризации касательной полагают, что в процессе работы объекта рабочая точка статической характеристики будет совершать лишь незначительные колебания вокруг номинального режима и, следовательно, характеристику можно заменить касательной к характеристике в точке А (системы стабилизации).

Для получения уравнения касательной перенесем начало координат в точку А и запишем уравнение касательной в отклонениях от точки номинального режима:

Dу = kDх

Величина - отношение выходной величины к входной – статический коэффициент передачи. Для нелинейных звеньев “ к ” – величина не постоянная и зависит от положения рабочей точки А.

Метод секущей, может быть, применим к объектам, имеющим нелинейную статическую характеристику, кососимметричную относительно начала координат.

Характеристику такого типа можно заменить линейной секущей АА, причём провести её нужно так, чтобы ошибки ∆ _1, ∆ _2, ∆ _3, ∆ ₄были минимальными.

Дата добавления: 2014-10-17