Устойчивость систем автоматического регулирования

Тема 4

1. Физическое и математическое определение устойчивости.

Система автоматического регулирования называется устойчивость, если после снятия возмущающего воздействия, которое вывело её из состояния равновесия, она вновь возвращается в состояние равновесия. Если система не возвращается в состояние равновесия после снятия возмущения, она неустойчива.

устойчивая система (кривые 1, 2)

неустойчивая (3).

Для определения математического условия устойчивости САР необходимо решить дифференциальное уравнение системы, когда правая часть этого уравнения равна 0 (при снятии возмущающего воздействия), и посмотреть, как ведет y_вых (t)при t ® ¥.

Пусть

Тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме:

a_npⁿy(p) +... + a₁py(p) + a_oy(p) = b_mp^mx(p) +... + b₁px(p) + b_ox(p)

Оригинал дифференциального уравнения:

Для определения устойчивости системы, описываемой этим уравнением, снимем возмущения x(t)=0 и решим уравнение:

Для этого запишем характеристическое уравнение:

H(p) = a_npⁿ +.... + a₁p + a_o = 0.

Как видно из последнего выражения, характеристическое уравнение звена или системы – это знаменатель передаточной функции звена или системы, приравненный к нулю.

Если p₁, p₂,..., p_n – корни характеристического уравнения, то решение этого уравнения имеет вид:

где C_i – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Рассмотрим отдельные случаи решения дифференциального уравнения:

1) p₁, p₂,..., p_n – отрицательные действительные корни: p_i = -a_i. Решение уравнения в этом случае:

.

2) p₁, p₂,..., p_n - положительные действительные корни: p_i = +a_i.

– решение уравнения в этом случае

.

3) p₁, p₂,..., p_n - корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью:

p_i = – a_i ± jb_i.

4) p₁, p₂,..., p_n – корни комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью:

p_i = + a_i ± jb_i

Анализируя все случаи решения дифференциального уравнения для случая x(t) = 0, можно сделать вывод:

система автоматического регулирования устойчива, если все корни ее характеристического уравнения отрицательные действительные или комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. Если же среди корней характеристического уравнения системы имеется хотя бы один положительный действительный корень или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью, такая система неустойчива.

Математические правила, позволяющие определить знаки корней алгебраического (характеристического) уравнения, не решая это уравнение, в ТАУ называют критериями устойчивости.

2. Алгебраический критерий Гурвица.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Система автоматического регулирования устойчива, если все коэффициенты её характеристического уравнения имеют одинаковые знаки, а главный диагональный определитель системы (определитель Гурвица) и его диагональные миноры будут положительными.

Пусть – характеристическое уравнение системы;

1) Необходимые условия: а₀ > 0, а₁ > 0,……, а_n > 0 или а₀<0, а₁<0,….., а_n<0.

2) Для проверки достаточного условия, составляют из коэффициентов уравнения главный диагональный определитель:

- по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго.

- столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициенты с последовательно убывающими индексами;

столбцы вниз – коэффициентами с последовательно возрастающими индексами;

- i ^ый диагональный минор получают отчёркивая i ^ый столбец и i ^ую строку.

Для исследуемой системы:

аn-1	аn-3	аn-5
аn	аn-2	аn-4
	аn-1	аn-3			C1C2-C3C4
				а1	0
					а0

C1	C3
C4	C2

D₁= а_n-1>0;

аn-1	аn-3
аn	аn-2

D₂= = а_n-1 а_n-2 - а_n а_n-3 >0;

аn-1	аn-3
аn	аn-2
			а0

аn-1	аn-3	аn-5
аn	аn-2	аn-4
	аn-1	аn-3

D₃= >0; D_n= >0;

Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является Н(р), следовательно, по Гурвицу определяют устойчивость замкнутых и разомкнутых систем.

Пример 1. Определить по Гурвицу устойчивость системы первого порядка, заданной характеристическим уравнением:

Н(р)=а₁р+а₀=0

1)а₁ >0; а₀ >0

2)D=| а₀| >0, т.е. для того, чтобы система первого порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки.

Пример 2. Определить по Гурвицу устойчивость системы второго порядка заданной характеристическим уравнением:

Н(р)=а₂р²+а₁р+а₀=0

1)а₁> 0; а₂>0; а₀>0

а1
а2	а0

2)D₂= = а₁ а₀ – а₂ 0 >0

т.е. для того чтобы система второго порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки.

Пример 3. Определить по Гурвицу устойчивость системы, заданной следующей структурной схемой:

Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является характеристическое уравнение замкнутой САР, которое находится как знаменатель ее передаточной функции.

где:

Первое условие:

а2	а0
а3	а1
	а2	а0

Второе условие: ∆ =

∆₁ = а₂ >0, если выполняется первое условие;

а2	а0
а3	а1

∆₂= = а₂ а₁ - а₃ а₀ >0, в этом случае система устойчива;

∆₃ = (-1)³⁺³ а₀ ∆₂^>0 всегда, если а₂>0 и выполняется первое условие.

Для того, чтобы система третьего порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения имели одинаковые знаки, а произведение внутренних коэффициентов было больше произведения крайних.

Но может оказаться, что а₂<0, тогда система неустойчива, и ее необходимо скорректировать, не прибегая к структурной коррекции. Это, возможно меняя статический коэффициент передачи разомкнутой САР. Для данной системы k_раз = b₀, а коэффициент характеристического уравнения а₀=f(k_раз).

В этом случае находят критическое значение k_раз, при котором система находится на границе устойчивости, т. е. ∆₂=0.

∆₂= а₂ а₁ - а₃ а_{0 кр}=0

а_{0 кр}= а₂ а₁/а₃

k_{раз кр} (для данной системы)= а_{0 кр} - 1

Выбирают k_{раз ск} < k_{раз кр} и а_{0 ск} = 1+ k_{раз ск}

∆_{2 скор. сист.} а₂ а₁ - а₃ а_{0 ск} >0, т. е. скорректированная система устойчива.

3. Частотный критерий Михайлова.

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

(1)

Заменив в Н(р) оператор р на оператор jω, получим вектор Н(jω)

Пусть p₁, p₂,......, p_n - корни характеристического уравнения. Тогда в соответствии с теоремой Безу характеристическое уравнение (1) можно переписать в виде:

или

Н(jω) (2)

Величина (jω-p_j) геометрически изображается векторами в комплексной плоскости, а Н(jω) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов (jω-p_i), модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов.

Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным, тогда при изменении ω от 0 до ∞ каждый элементарный вектор повернется на некоторый угол.

Пусть p₁ - отрицательный действительный корень (“левый”, т. е. слева от мнимой оси), равный “ -α ₁”. При изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p₁)

т. е. каждый “левый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол в положительном направлении.

Если p₂ - положительный действительный корень (“правый”), равный “+α₂”,то при изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p₂)

т. е. каждый “правый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол в отрицательном направлении.

Если p_3,4 - корень комплексно-сопряженный с отрицательной действительной частью равные –α₃ ± jβ₃, то

при изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p₃) (jω- p₄)

т. е. пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол +2(π/2).

Если p_5,6 - комплексно-сопряженные корни с положительной вещественной частью, равные +α₄ ± jβ₄, то при изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p₅) (jω- p₆)

комплексно-сопряжённых корней с положительной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол 2π⁄2 в отрицательном направлении.

Анализируя выше изложенные случаи, можно сделать вывод:

Если система устойчива - все корни левые, и каждый даёт поворот на +π⁄2. Произведение векторов (jω-p_i)- тоже вектор. При изменении ω от 0 до ∞ его конец описывает кривую, называемую годографом Михайлова.

Следовательно, если все корни левые, угол поворота вектора характеристического уравнения (вектор Михайлова) равен сумме углов поворота векторов (jω-p_i), который в свою очередь равен +nπ⁄2. Если же хоть один корень правый, угол поворота вектора Михайлова меньше nπ⁄2, где n- порядок характеристического уравнения.

Таким образом, критерий Михайлова формулируется так:

САР устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф Михайлова проходит последовательно n квадрантов, не обращаясь в 0, или САР устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ вектор Михайлова поворачивается на угол nπ⁄2 в положительном направлении, где n- порядок характеристического уравнения.

Годограф устойчивых систем

При увеличении статического коэффициента передачи разомкнутой САР, коэффициент а₀ растёт и годограф смещается вправо, параллельно самому себе. При некотором а_{0 кр} годограф проходит через начало координат. Это граница устойчивости. Очевидно а_{0 кр}=АВ, т.е. отрезку действительной оси, отсекаемому годографом Михайлова.

Дата добавления: 2014-10-17