При цьому вибирають таке визначення а, яке зводить функцію L до максимуму. Для спрощення функцію правдоподібності заміняють логарифмом, тоді

Сутність ММП полягає в тому, що за якісну оцінку параметра а беруть таке значення аргументу, що приводить функцію L до максимуму. Рівняння (4.14) розв’язують при умові

. (4.15)

. (4.16)

Якщо закон розподілу має два параметри: а ₁ і а ₂, то оцінки їх визначають із сумісного розв’язання двох рівнянь

і . (4.17)

Приклад 1. При експериментальних випробуваннях точності розробленого приладу отримана вибірка із генеральної сукупності x ₁ ,x ₂ ,…,x_n. Результати вимірів х_і незалежні між собою. Попередні розрахунки показали, що статистична функція (гістограма) має вигляд щільності нормального розподілу. Необхідно знайти оцінку для невідомого параметра а = М_Х, що відображає ймовірне значення шуканої величини Х.

Розв’язання. Так як результати експерименту підпорядковуються нормальному закону розподілу, то висунемо умову, що щільність розподілу кожної із величин j (х_і, а) залежить від параметра а. Це означає, що для кожної величини функції правдоподібності буде

.

Тоді функція правдоподібності для всієї вибірки буде

L (x₁ ,x₂,…,x_n, a) = .

Візьмемо логарифм, тоді

.

За допомогою формули (4.16) отримаємо

.

При цьому необхідно щоб s² ¹ 0, тоді

, або .

Оцінкою невідомого параметру а буде

. (4.18)

Таким чином надійним значенням параметра а буде проста арифметична середина із результатів експерименту.

Приклад 2. Згідно умов приклада 1 результати вибірки підпорядковуються закону нормального розподілу. Необхідно визначити оцінки а ₁ = М_Х, а ₂ = s², що характеризують величину і дисперсію вибірки.

Розв’язання. Згідно формули щільності закону нормального розподілу з параметрами а ₁ = М_Х і а ₂ = s² для кожної випадкової величини х_і функція правдоподібності буде

,

а для всієї вибірки

.

Згідно формули (4.17) отримаємо два рівняння і прирівняємо їх до нуля

;

,

або

; а)

(4.19)

. б)

Із сумісного їх розв’язання отримаємо

; (4.20)

. (4.21)

Як видно, що перший параметр буде простою арифметичною серединою (формула 4.18), а другий параметр буде статистичною дисперсією (§ 4.4).

Проте виявляється, що при невідомому значенні істинного (ймовірного) значення шуканої випадкової величини Х оцінка дисперсії буде дещо зміщеною. Тому при заміні математичного сподівання М_Х простою арифметичною серединою незміщеною оцінкою дисперсії буде

. (4.22)

В математичній обробці результатів вимірів вираз (4.21) називають формулою Гаусса, а (4.22) – формулою Бесcеля.

Метод максимальної правдоподібності приводить до визначення досить доброякісних оцінок, хоч іноді і зміщених. Проте практично можуть виникати досить складні системи рівнянь.

Дата добавления: 2014-10-17