Оцінка параметрів розподілу за допомогою надійних інтервалів

В § 4.4 розглянули точковий спосіб визначення точкових оцінок. Проте більш досконалим є спосіб надійних інтервалів. Справа полягає в тому, що точкова оцінка без вказаної ступені точності і надійності мало що визначає, тому що отримані величини оцінок становлять лиш часткові значення деяких випадкових величин.

Щоб мати досить точну і надійну оцінку а* параметра а треба дотриматись умови

Р(| a* - a | < x) = P (-x < | a* - a | < x) = P (a* - x < a < a* + x) = 1 – б, (4.52)

де б досить мала величина.

Співвідношення (4.52) показує ймовірність того, що невідомий параметр а буде знаходитись в межах інтервалу (а* - x, а* + x), дорівнює 1 – б = Р. Такий інтервал і називають надійним інтервалом.

Треба зазначити, що чим менше буде x, тим точніше буде оцінка а* параметра а.

Графічно надійний інтервал для параметра а можна показати на рис.4.5.

Рис.4.5

Припустимо, що параметром а буде математичне сподівання випадкової величини Х.

Емпіричне середнє арифметичне значення випадкової величини Х: (х ₁, х ₂ ,..., х_п) визначається за формулою (4.23) і є випадковою величиною, якщо її обчислювати по різним серіям вимірів (по вибірках) при проведенні дослідів. Таким чином із серійних середніх арифметичних також формується статистичний ряд. Причому всі вони з деяким рівнем ймовірності р = b будуть належати інтервалу

а* - x < a = M _X < a* + x. (4.53)

Визначимо математичне сподівання та дисперсію випадкової величини , або параметра а. Відповідно за формулою (3.48) маємо

= (4.54)

Це означає, що математичне сподівання випадкової величини Х залежить від числа п вимірів і дорівнює математичному очікуванню М_Х = а випадкової величини Х.

Дисперсія середнього арифметичного відповідно за формулою (3.59) буде

= , або . (4.55)

Із формули (4.55) маємо висновок, що дисперсія математичного сподівання (емпіричного середнього арифметичного) залежить від параметра s та числа вимірів п.

Величину називають стандартом математичного сподівання середнього арифметичного

. (4.56)

Якщо дисперсію m ² обчислюють по статистичному ряду чи статистичній сукупності (формули 4.22 і 4.28), то емпіричне значення стандарту середнього арифметичного називають середнім квадратичним відхиленням арифметичної середини, або

. (4.57)

Дата добавления: 2014-10-17