Противоположные события

События. Равенство событий. Сумма и произведение событий.

Тема №1

Событием называется результат некоторого опыта.

Событие называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но может и не наступить.

Случайные события обозначаем А, В, С,…

Событие называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно наступит. Достоверное событие обозначаем U. Событие называется невозможным, если в данном опыте оно наступить не может. Невозможное событие обозначаем V.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем А Ì В.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Условившись обозначать наступление события цифрой «1» и ненаступление – цифрой «0», сумму и произведение двух событий, а также противоположное событие можно определить следующими таблицами:

А	В	А+В	АВ		А

Пример 1. Опыт состоит в бросании игральной кости. Событие А_i, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – выпадение i очков; событие А – выпадение четного числа очков, В – выпадение нечетного числа очков, С – выпадение числа очков, кратного трем, и D – выпадение числа очков, большего трех. Выразите события А, В, С и D через А_i, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А₂, или А₄, или А₆. Это означает, что А = А₂ + А₄ + А₆.

Рассуждая аналогично, имеем:

В = А₁ + А₃ + А₅, С = А₃ + А₆ и D = А₄ + А₅ + А₆.

Пример 2. С помощью таблиц, определяющих А + В, АВ и , доказать равенство А + = А + .

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:

А	В		А+		А	В				А+

Последние столбцы этих таблиц одинаковы, что и означает справедливость равенства А + = А + .

Пример 3. С помощью таблицы перечислите все случаи наступления и ненаступления события А + С в зависимости от наступления и ненаступления событий А, В и С.

Решение. Составим таблицу:

А	В	С		А	А + С

Пример 4. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки соответственно в области А, В и С (рис.1). Что означает событие АВ + С?

Решение. События АВ + С означает попадание точки в область (А Ç В) È С, которая на рисунке 2 заштрихована.

Контрольное задание №1

1. Опыт состоит в том, что стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Событие А_i – попадание в мишень при i-м выстреле (i = 1, 2,3). Выразите через А₁, А₂ и А₃ следующие события:

А – хотя бы одно попадание,

В – три промаха,

С – три попадания,

D – хотя бы один промах,

Е – не меньше двух попаданий,

F – не больше одного попадания,

G – попадание в мишень после первого выстрела.

2. Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты занумерованы и события Г₁, Г₂ и Г₃ означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей монетах. Выразите через Г₁, Г₂ и Г₃ следующие события:

А – выпадение одного герба и двух цифр,

В – выпадение не более одного герба,

С – число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр,

D – выпадение хотя бы двух гербов,

Е – на первой монете выпал герб, а на остальных – цифры,

F – на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал герб.

3. Пусть А, В и С – произвольные события. Что означают следующие события: ВС, , ++, А + В + С, + С + В + А ?

4. Прибор состоит из 2 блоков I типа и 3 блоков II типа. Событие A_k (k = 1,2) – исправен k-й блок I типа; B_i (i = 1, 2, 3) – исправен i-й блок II типа.

Прибор работает, если исправен хотя бы один блок I типа и не менее 2 блоков II типа. Выразите событие С, означающее работу прибора, через A_k и B_i.

5. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А означает исправность рулевого устройства, В_k (k = 1, 2, 3, 4) – исправность k-го котла и С_i (i = 1,2) – исправность i-й турбины; событие D – судно управляемое, что будет, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразите D и через А, В_k и С_i.

6. Электрическая цепь составленная по схеме, приведенной на рисунке 3.

Выход из строя элемента A_k (k = 1,2) событие A_k, элемента B_i (i = 1,2) событие B_i.

Запишите события С и , если С означает разрыв цепи.

7. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 4. Выход из строя элемента A_k (k = 1,2) событие A_k, Элемента С – событие С и элемента B_i (i = 1,2) событие B_i.Запишите события D и , если D – разрыв цепи. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 5.

Выход из строя элемента А – событие А, элемента B_k (i = 1,2) – событие B_k и элемента С – событие С.Запишите события D и , если D – разрыв цепи.

9. Производятся наблюдения за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:

А – обнаружен ровно один из 4 объектов;

В – обнаружен хотя бы один из объектов;

С – обнаружено не менее 2 объектов;

D – обнаружено ровно 2 объекта;

Е – обнаружено ровно 3 объекта;

F – обнаружены все 4 объекта.

Укажите, в чем состоят события:

1) А + В; 2) АВ; 3) В + С; 4) ВС; 5)

10. Опыт состоит в бросании точки в прямоугольник. События А, В и С означают соответственно попадание точки в области А, В и С (рис.6). Что означают следующие события:

а) А + В + С; б) АВС; в) + + ;

г) + + С; д) А + В + ; е) АВ + ; ж) АВ; з) А + С?

Дата добавления: 2014-10-22