Интервальное оценивание

Для собственно-случайного отбора

n	Собственно-случайный повторный отбор	Собственно-случайный Бесповторный отбор
Для средней
Для доли

Мы уже знаем, что . Если представляет собой предел, которым ограничена сверху абсолютная величина, то . Следовательно,

(7.4)

Мы получили интервальную оценку генеральной средней. Из теоремы Чебышева следует, что

. (7.5)

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная ошибка выборки , позволяющая установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надёжностью) должен находиться параметр генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Если мы выберем коэффициент таким, что высказывание в 95% случаев окажется правильным и только в 5% - неправильным, то мы говорим: со статистической надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Статистической надежности в 95% соответствует доверительная вероятность - 0,95. В 5% случаев утверждение "параметр принадлежит доверительному интервалу" будет неверным. То есть 5% задает уровень значимости () или 0,05 вероятность ошибки. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5% (< 0,05). Доверительная вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100%) и определяют надежность статистического высказывания.

С помощью доверительного интервала можно оценить не только генеральную среднюю, но и другие неизвестные параметры генеральной совокупности.

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней ) [5]нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (на практике - при большом объеме выборки, т.е. при n ³ 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.5.2) примет вид:

(7.6)

где t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения

2F₀(t) = g;

- среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборки (число обследованных единиц).

D определяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней ) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (при большом объеме выборки, т.е. при n 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.6) примет вид:

(7.7)

D определяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (на практике - при малом объеме выборки, т.е. при n < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.6) примет вид:

(7.8)

где t определяется по таблицам Стьюдента

по уровню значимости a = 1 - g

и числу степеней свободы k = n - 1;

s - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборки.

D определяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (при малом объеме выборки, т.е. при n < 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.8) примет вид:

(7.9)

D определяется по формуле:

Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле при большом объеме выборки, т.е. при n 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.5) примет вид:

(7.10)

где t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения

2F₀(t) = g;

w - выборочная доля;

n - объем выборки (число обследованных единиц).

D определяется по формуле:

Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле при большом объеме выборки, т.е. при n 30 и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.10) примет вид:

(7.11)

D определяется по формуле:

Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле при малом объеме выборки, т.е. при n < 30 и собственно-случайном повторном отборе формула (7.10) примет вид:

(7.12)

где t определяется по таблицам Стьюдента

по уровню значимости a = 1 - g

и числу степеней свободы k = n - 1.

D определяется по формуле:

Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле при малом объеме выборки, т.е. при n < 30 и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.12) примет вид:

(7.13)

D определяется по формуле:

Пример 7.1. С помощью собственно-случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочное обследование 900 своих служащих. Средний стаж их работы в фирме равен 8,7 года, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение - 2,7 года. Среди обследованных оказалось 270 женщин. Считая стаж работы служащих фирмы распределённым по нормальному закону, определите:

а) с вероятностью 0,95 доверительный интервал, в котором окажется средний стаж работы всех служащих фирмы;

б) с вероятностью 0,90 доверительный интервал, накрывающий неизвестную долю женщин во всем коллективе фирмы.

Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственно-случайного повторного отбора. Объем выборки n = 900 единиц, т.е. выборка - большая.

а) Найдем границы доверительного интервала среднего стажа работы всего коллектива фирмы, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.

По условию: = 8,7; s = 2,7; n = 900; g = 0,95.

Используем формулу:

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0,95;

аса (приложение 2) найдем, при каком t

F₀(t) = 0,475.

F₀(1,96) F₀(t) = 0,95 / 2 = 0,475;

По таблице функции Лапл = 0,475.

Следовательно, t = 1,96.

Найдем предельную ошибку выборки:

;

.

;

;

.

С вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний стаж работы всего коллектива фирмы находится в интервале от 8,5236 до 8,8764 года.

б) Теперь оценим истинное значение доли женщин во всем коллективе фирмы.

По условию: m = 270; n = 900; g = 0,9.

Выборочная доля

Рассмотрим формулу:

.

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0,9;

F₀(t) = 0,9 / 2 = 0,45.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) определим при каком t F₀(t) = 0,45.

F₀(1,64) = 0,45.

Следовательно, t = 1,64.

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

;

.

;

;

.

Итак, с вероятностью 0,9 можно ожидать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,2749 до 0,3251.

Ответ. Можно ожидать, что с вероятностью 0,95, средний стаж работы всех служащих фирмы находится в интервале от 8,5236 до 8,8764 года. С вероятностью 0,90 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,2749 до 0,3251.

Пример 7.2 Изменим условие примера 7.1.

а) С помощью собственно-случайного повторного отбора определяется средний стаж работы служащих фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону. Каким должен быть объем выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0,95 можно было утверждать, что принимая полученный средний стаж работы за истинный, совершается погрешность, не превышающая 0,5 года, если стандартное отклонение s равно 2,7 года?

б) Каким должен быть объем собственно-случайной повторной выборки, чтобы с надежностью 0,90 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли женщин в выборке от доли женщин во всем коллективе фирмы не превышало 0,05, если в прошлом аналогичном обследовании выборочная доля женщин оказалась равной 0,3?

Решение. В данной задаче нужно найти необходимую численность выборки. Расчет необходимой численности выборки дает ответ на вопрос: “Сколько нужно обследовать единиц совокупности, чтобы с заранее заданной вероятностью не превысить заранее заданную ошибку?”

а) Дано: D = 0,5; s = 2,7; g = 0,95.

По условию задачи требуется найти необходимую численность выборки для средней при повторном отборе.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней для собственно-случайного повторного отбора:

.

Неизвестное значение t найдем из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0,95;

F₀(t) = 0,95 / 2 = 0,475;

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t

F₀(t) = 0,475.

F₀(1,96) = 0,475.

Следовательно, t = 1,96.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

.

Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, необходимо обследовать не менее 113 служащих.

Ответ. Чтобы с вероятностью 0,95 и D= 0,5 года с помощью собственно-случайного повторного отбора определить средний стаж работы в фирме, необходимо обследовать не менее 113 служащих.

б) Дано: D = 0,05; w = 0,3; g = 0,9.

По условию задачи требуется найти необходимую численность выборки для доли для собственно-случайного повторного отбора.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли для собственно-случайного повторного отбора:

.

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0,9;

F₀(t) = 0,9 / 2 = 0,45.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t

F₀(t) = 0,45.

F₀(1,64) = 0,45.

Следовательно, t = 1,64.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

.

Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, n» 226.

Ответ. Чтобы с вероятностью 0,9 и ошибкой 0,05 с помощью собственно-случайного повторного отбора определить долю женщин во всем коллективе фирмы, необходимо обследовать не менее 226 служащих.

Пример 7.3 Владелец автостоянки опасается обмана со стороны своих служащих (охраны автостоянки). В течение года (365 дней) владельцем автостоянки проведено 40 проверок. По данным проверок среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составило 400 единиц, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение их числа - 10 автомобилей.

а) Считая отбор собственно-случайным, с вероятностью 0,99 оцените с помощью доверительного интервала истинное среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану. Обоснованны ли опасения владельца автостоянки, если по отчетности охранников среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на стоянку, составляет 395 автомобилей?

Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственно-случайного отбора. Очевидно, что отбор - бесповторный, т.к. не имеет смысла производить проверку более 1 раза в сутки. Объем выборки n = 40, что больше 30 единиц, т.е. выборка - большая. Объём генеральной совокупности N==365.

а) Найдем границы доверительного интервала для оценки среднего числа автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.

По условию: = 400; s = 10; n = 40; g = 0,99; N=365

Используем формулу:

.

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0,99;

F₀(t) = 0,99 / 2 = 0,495;

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t

F₀(t) = 0,495.

F₀(2,58) = 0,495.

Следовательно, t = 2,58.

Найдем предельную ошибку выборки:

;

.

;

;

.

Ответ. С уверенностью в 99% можно ожидать, что среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, находится в интервале от 396 до 404. Таким образом можно утверждать, что служащие автостоянки обманывают ее владельца.

Пример 7.4 В 24-х из 40 проверок число автомобилей на автостоянке не превышало 400 единиц.

С вероятностью 0,98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли дней в течение года, когда число оставляемых на стоянку автомобилей не превышало 400 единиц.

Решение. Определим границы доверительного интервала для доли дней в течение года, когда число оставляемых на стоянку автомобилей не превышало 400 единиц.

По условию: m = 24; n = 40; g = 0,98.

Выборочная доля

Так как ,

то найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0,98;

F₀(t) = 0,98 / 2 = 0,49.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t

F₀(t) = 0,49.

F₀(2,33) = 0,49.

Следовательно, t = 2,33.

Найдем предельную ошибку выборки:

;

;

;

.

Ответ. С вероятностью 0,98 можно ожидать, что доля дней в течение года, когда число оставляемых на стоянку автомобилей не превышало 400 единиц, находится в интервале от 0,4297 до 0,7703.

Пример 7.5 Изменим условие примера 7.3.

С помощью собственно-случайного бесповторного отбора определяется среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану. Предполагается, что оно подчиняется нормальному закону. Каким должен быть объём выборки, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что принимая полученное среднее число автомобилей по выборке за истинное, совершается погрешность, не превышающая 3 автомобилей, если среднее квадратическое отклонение s равно 10 автомобилям?

Решение. Дано: D = 3; s = 10; g = 0,95;N=365.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней для собственно-случайного бесповторного отбора:

.

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0,95;

F₀(t) = 0,95 / 2 = 0,475;

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t

F₀(t) = 0,475.

F₀(1,96) = 0,475.

Следовательно, t = 1,96.

Рассчитаем объём выборки:

.

Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, необходимо провести не менее 39 проверок.

Ответ. Для определения среднего числа автомобилей, оставляемых на ночь на охрану с вероятностью 0,95 и D=3, необходимо, необходимо провести не менее 39 проверок.

Пример 7.6 Изменим условие примера 7.4.

Каким должен быть объём собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли дней от доли дней в течение года (когда среднее число оставляемых на охрану автомобилей не превышало 400 единиц) не превышало 0,1, если по данным прошлых проверок выборочная доля таких дней составляла 0,6?

Решение. Дано: D = 0,1; w = 0,6; g = 0,9;N=365.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли при собственно-случайном бесповторном отборе:

.

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0,9;

F₀(t) = 0,9 / 2 = 0,45.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t

F₀(t) = 0,45.

F₀(1,64) = 0,45.

Следовательно, t = 1,64.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

.

Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, n» 55.

Ответ. Для того чтобы с вероятностью 0,9 и предельной ошибкой 0,1 с помощью собственно-случайного бесповторного отбора определить искомую долю дней в течение года, необходимо провести не менее 55 проверок.

Пример 7.7 Служба контроля Энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью собственно-случайного отбора выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт-час): 125; 78; 102; 140; 90; 45; 50; 125; 115; 112.

С надежностью 0,95 определите доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме при условии, что в доме 70 квартир, а отбор был:

а) повторным;

б) бесповторным.

Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственно-случайного отбора. Объем выборки n = 10 единиц, т.е. выборка - малая.

а) Считая отбор повторным, найдем доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме, т.е. границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.

Для этого используем формулы:

;

.

Для определения границ доверительного интервала необходимо рассчитать выборочные среднюю и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Рассчитаем выборочную среднюю арифметическую:

.

Найдем исправленную выборочную дисперсию:

Найдем исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

Итак, дано: == 98,2; s = 32,1448; n = 10; g = 0,95.

По таблице Стьюдента (Приложение 5) найдем t по уровню значимости

a и числу степеней свободы k.

a = 1 - g = 1 - 0,95 = 0,05;

k = n - 1 = 10 - 1 = 9.

t_{a=0,05; k=9}= 2,26.

Найдем предельную ошибку выборки:

.

.

;

;

.

Ответ. При условии, что отбор квартир был повторным, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии на 1 квартиру во всем доме находится в интервале от 75,2269 до 121,1731 кВт-часа.

б) Найдем границы доверительного интервала для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме, считая отбор бесповторным.

Для этого используем формулы:

.

.

По условию: == 98,2; s = 32,1448; n = 10; g = 0,95; t_{a=0,05; k=9}= 2,26; N = 70.

Найдем предельную ошибку выборки:

.

;

;

.

Ответ. При условии, что отбор квартир был бесповторным, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии на 1 квартиру во всем доме находится в интервале от 76,9311 до 119,4689 кВт-часа.

Задачи к теме 7

1. С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10%-ная случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверительной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у.е.?

2. Фирма, торгующая автомобилями в небольшом городе, собирает информацию о состоянии местного автомобильного рынка в текущем году. С этой целью из 8746 лиц в возрасте 18 лет и старше, проживающих в этом городе, отобрано 500 человек. Среди них оказалось 29 человек, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году. Оцените долю лиц в генеральной совокупности в возрасте 18 лет и старше, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году, если a = 0,05.

3. Для оценки числа безработных среди рабочих одного из районов города в порядке случайной повторной выборки отобраны 400 человек рабочих специальностей. 25 из них оказались безработными. Используя 95%-ный доверительный интервал, оцените истинные размеры безработицы среди рабочих этого района.

4. Туристическое бюро, рекламируя отдых на одном из морских курортов, утверждает, что для этого курорта характерна идеальная погода со среднегодовой температурой +20° С. Пусть случайно отобраны 35 дней в году. Какова в этом случае вероятность того, что отклонение средней температуры за отобранные дни от среднегодовой температуры не превысит по абсолютной величине 2°С, если температура воздуха распределена по нормальному закону, а стандартное отклонение дневной температуры составляет 4° С?

5. Выборочные обследования малых предприятий города показали, что 95% малых предприятий в выборке относятся к негосударственной форме собственности. Приняв доверительную вероятность равной 0,954, определите, в каких границах находится доля негосударственных малых предприятий в генеральной совокупности, если в выборку попало 100 предприятий?

6. В целях изучения среднедушевого дохода населения города была произведена однопроцентная повторная собственно-случайная выборка из 1000 000 чел. По результатам обследования среднедушевой доход составил 1800 руб. со средним квадратическим отклонением, равным 500 руб. Считая среднедушевой доход случайной величиной, распределённой по нормальному закону, найдите доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 находится величина среднедушевого дохода всего населения города.

7. Для изучения различных демографических характеристик населения выборочно обследовано 300 семей города. Оказалось, что среди обследованных семей 15% состоят из двух человек. В каких пределах находится в генеральной совокупности доля семей, состоящих из двух человек, если принять доверительную вероятность равной 0,95?

8. По данным выборочных обследований прожиточный минимум населения Ростовской области в 2000 году составил 723 руб. в месяц. Каким должен был быть минимально необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,997 можно было утверждать, что этот показатель уровня жизни населения в выборке отличается от своего значения в генеральной совокупности не более чем на 30 руб., если среднее квадратическое отклонение принять равным 400 руб.?

9. Выборочное обследование распределения населения города по среднедушевому денежному доходу показало, что 25% обследованных в выборке имеют среднедушевой денежный доход ниже прожиточного минимума. В каких пределах с надежностью 0,954 находится доля населения, имеющего среднедушевой доход ниже прожиточного минимума, в генеральной совокупности, если в городе проживает 1 млн. чел. и осуществляется с помощью собственно-случайного бесповторного отбора?

10. Аудиторская фирма хочет проконтролировать состояние счетов одного из коммерческих банков. Для этого случайно отбираются 50 счетов. По 20 счетам из 50 отобранных имело место движение денежных средств в течение месяца. Построить 99%-ный доверительный интервал, оценивающий долю счетов в генеральной совокупности, по которым имело место движение денежных средств в течение месяца.

11. Строительная компания хочет оценить возможности успешного бизнеса на рынке ремонтно-строительных работ. Эта оценка базируется на случайной бесповторной выборке, в соответствии с которой, из 1000 домовладельцев, собирающихся ремонтировать или перестраивать свои дома, отобраны 600 человек. По этой выборке определено, что средняя стоимость строительных работ, которую предполагает оплатить отдельный домовладелец, составляет 5000 у.е. С какой вероятностью можно гарантировать, что эта стоимость будет отличаться от средней стоимости строительных работ в генеральной совокупности по абсолютной величине не более, чем на 100 у.е., если стандартное отклонение стоимости строительных работ в выборке составило 500 у.е.?

12. Менеджер компании, занимающейся прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний пробег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным отклонением 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, распределённой по нормальному закону, найти 95%-ный доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца.

13. Среднемесячный бюджет студентов в колледжах одного из штатов США оценивается по случайной выборке. С вероятностью 0,954 найдите наименьший объём выборки, необходимый для такой оценки, если среднее квадратическое отклонение предполагается равным 100 у.е., а предельная ошибка средней не должна превышать 20 у.е.

14. Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населению, опрашивает своих клиентов для определения среднего размера такого кредита. Из 9706 клиентов банка опрошено 1000 человек. Среднее значение необходимого кредита в выборке составило 6750 у.е. со стандартным отклонением 1460 у.е. Найдите границы 95%-ного доверительного интервала для оценки неизвестного среднего значения кредита в генеральной совокупности.

15. Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию товара А, составляет 60% от общего числа покупателей данного товара.. Каким должен быть объём выборки, чтобы можно было получить оценку генеральной доли с точностью не менее 0,05 при доверительной вероятности 0,90?

16. С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 часов. Каким должен быть объём выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени просмотра передач составило 40 минут, а отклонение выборочной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 минут с вероятностью 0,99?

17. При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала НТВ. Постройте 99%-ный доверительный интервал, оценивающий долю всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ.

18. Для оценки остаточных знаний по общеэкономическим предметам были протестированы 25 студентов 2 курса факультета. Получены следующие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110, 103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найти 95%-ный доверительный интервал для оценки среднего балла тестирования всех студентов 2 курса факультета.

19. Для изучения размера среднемесячной заработной платы занятого населения региона производится случайная повторная выборка. Каким должен быть объем этой выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0,997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолютной величине не более, чем на 25%, если среднемесячная заработная плата в выборке составила 220 у.е. со средним квадратическим отклонением 120 у.е.?

20. Выборочное исследование деятельности коммерческих банков региона показало, что в среднем каждый банк имеет 10 филиалов в регионе (со стандартным отклонением, равным 5). Найти объем выборки, позволивший сделать такую оценку, если предельная ошибка выборочной средней находится в пределах 20% от ее фактического значения, а доверительная вероятность составляет 0,95.

Дата добавления: 2014-10-22