Доказательство. Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу

Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу.

Конец доказательства.

Доказательство.

Определение 4.4. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в котором находится данный элемент.

Обозначается минор элемента символом .

Пример 4.3. Минор элемента

Определение 4.5. Алгебраическим дополнением элемента называется следующая величина

.

Теорема Лапласа. Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

(разложение по i -й строке),

или

(разложение по i -у столбцу),

где n - порядок определителя.

Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна 0.

Пусть дан определитель 3-го порядка .

Вычислим следующие определители по правилу Саррюса:

Но

,

Поэтому . Так как , то

Аналогично доказывается разложение по любой другой строке или столбцу. Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть дана сумма произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения элементов первой строки:

Согласно первой части доказательства, эта сумма равна определителю , равного 0 в силу равенства двух строк.

Дата добавления: 2014-10-22