Преобразование системы координат

Уравнение линии в полярной системе координат

ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).

ПСК будет определена, если задать точку О – полюс и луч ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом и полярным углом – угол между полярной осью и полярным радиусом. Положительное направление отсчета полярного угла от полярной оси считается против часовой стрелки.

полярной оси считается против часовой стрелки.

Для всех точек плоскости, а для однознач-

ности полярного угла считается.

Если начало ДСК совместить с О Р

полюсом, а ось О х направить по

полярной оси, то легко убедиться у

в связи между полярными и декартовыми

координатами О х Р

(1)

Если уравнение линии в ДСК имеет вид, то в полярной системе координат - Тогда из этого уравнения можно получить уравнение в виде

Пример 3. Составить уравнение окружности в полярной системе координат, если центр окружности находится в полюсе.

Используя формулы перехода (1) от ДСК к ПСК, получим

Пример 4. Составить уравнение окружности, у

если полюс на окружности, а полярная ось

проходит через диаметр.

Поступим аналогично О 2 R х

R

Данное уравнение можно получить и из геометрических представ-лений (см. рис.).

Пример 5. Построить график линии

Перейдём к ПСК. Уравнение

примет вид О

а

График линии построим с учётом его симметрии и ОДЗ функции

Данная линия называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение линии в новой системе координат

1. Параллельный перенос ДСК. у

Рассмотрим две ДСК, имеющие М

одинаковое направление осей, но

различные начала координат.

В системе координат О ху точка

относительно системы О х

имеет координаты. Тогда

и

В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид

или. (2)

Формулы (2) представляют собой формулы перехода от “старой“ системы координат О ху к “новой“ системе координат и наоборот.

Пример 5. Получить уравнение окружности выполнив параллельный перенос системы координат в центр окружности.

Из формул (2) следует

2. Поворот системы координат.

у М

Рассмотрим две системы координат

с общим началом, но с различными

направлениями осей. В системе коор-

динат О ху вектор, О х

а в системе координат вектор

.

Разложим векторы по базису:

Тогда имеем,

откуда, переходя к координатной форме, получим формулы перехода

(3) (4)

Формулы (3) представляют собой переход от “старой“ системы координат О ху к “новой“ системе, а формулы (4) – наоборот.

Пример 6. Составить уравнение гиперболы при повороте системы координат на угол.

Используя формулы (3), получаем

или (каноническое уравнение гиперболы).

3. Общий случай: поворот вместе с параллельным переносом осущест-вляется согласно формулам (2) и (3):

(5)

Для того, чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, необходимо в это уравнение подставить формулы (5).

Лекция № 9. Тема 2: Прямая линия на плоскости

2.1. Уравнения прямой линии

Теорема. В ДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое уравнение вида в ДСК определяет на плоскости прямую линию.

Пусть – нормальный вектор у

прямой (вектор перпендикулярный прямой)

и точка принадлежит данной

прямой. Если - текущая точка

прямой, тогда для всех точек

прямой выполняется равенство О х

(1)

Уравнение (1) является уравнением первой степени.

Обратно. Пусть дано линейное уравнение и пусть точка принадлежит линии, которая определена этим уравнением. Тогда получаем равенства:

Вычитая их последовательно, имеем

Если ввести обозначение – нормальный вектор, то полученное уравнение (1) будет определять прямую линию. После раскрытия скобок получаем уравнение которое называется общим уравне-нием прямой.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что вектор является нормальным вектором прямой. у

Кроме того, прямая может быть

определена, если будет задана точка

, принадлежащая прямой

и вектор, которому она

параллельна (направляющий вектор). О х

Пусть точка - текущая точка прямой. Из коллинеарности векторов и следует равенство

(2)

Уравнение (2) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Переходя к координатной форме, получим

(3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. Исключая из них параметр t, то приходим к уравнению прямой с угловымкоэффициентом (или приведенное уравнение прямой) (4)

который образует пря- y

мая с осью О х; b

прямой на оси О у

O x

Замечание 2. Если прямая параллельна оси О у, то её уравнение имеет вид х = х ₀ (в этом случае т = 0). Если – оси О х, то у = у ₀ (п = 0).

Дата добавления: 2014-10-22