Гипербола. Эллипс определяется уравнением

Эллипс

Эллипс определяется уравнением

(2)

Т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим и отметим на оси О х точки называемые фокусами эллипса. Тогда эллипс можно опреде-лить как

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2 а.

у

b

M K

- а F ₁ O F ₂ a x

- b

Покажем это. Пусть точка - текущая точка эллипса. В этом случае получаем Тогда должно выполняться равенство

(3)

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением, тогда

(4)

Разделив обе части выражения (4) на, окончательно получаем каноническое уравнение эллипса

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить, то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнением Очевидно, что эллипс проходит через точки. Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точки называются вершинами эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса.

Прямые называются директрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис:

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Доказывается аналогично, как и равенство (3):

Подставив получим

или

Замечание 1. Окружность является частным случаем эллипса. Для неё

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив, отметим на оси О х точки называемые фокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2 а, т.е.

у

К М

F ₁ - а О а F ₂ х

Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение Из этого уравнения видно, что при достаточно больших х гипербола близка к прямой. После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки называются вершинами гиперболы. Прямые называются асимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы.

Прямые называются директрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Пример 1. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы.

Разделим обе части уравнения гиперболы на 144 и перейдем к каноническому виду

По условию а

Окончательно получаем

Дата добавления: 2014-10-22