Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору

Уравнение плоскости

Классификация линий второго порядка

Парабола

Парабола определяется каноническим уравнением т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициент р называется К у

фокальным параметром. М

Отметим на оси О х точку

называемую фокусом

параболы и проведём прямую, О F х

, называемую директрисой.

Тогда парабола может быть также определена как

геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса и директрисы.

Действительно, для произвольной точки параболы имеем

и

откуда и следует искомое равенство

Теорема. Любое уравнение вида (1), если не рассматривать случай “мнимых“ линий, путём преобразования системы координат можно привести к

одному из следующих видов:

1) - эллипс; 2) - гипербола;

3) - парабола; 4) - пара пересекающихся прямых; 5) - пара параллельных прямых;

6) - пара совпадающих прямых; 7) - точка.

Линии второго порядка классифицируются и по значению эксцентри-ситета:

- эллипс;

- парабола;

- гипербола.

Лекция № 11. Тема 4: Плоскость

Теорема. В ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое линейное уравнение в ДСК в пространстве определяет плоскость.

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы о прямой линии в ДСК на плоскости.

Уравнение называется общим уравнением плоскости.

Замечание 1. Аналогично следует, что вектор является нор-мальным вектором плоскости.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости О yz.

Поскольку в этом случае, то уравнение искомой плоскости будет иметь следующий вид.

Удобно и наглядно строить плоскость по её следам на координатных плоскостях, которые определяются из следующих систем уравнений:

Пример 2. Построить z

плоскость, заданную общим

уравнением

Определим координаты 0 2 y

точек пересечения с осями 1

координат: (1, 0, 0), (0, 2, 0)

и (0, 0, -2) и соединим эти x -2

точки отрезками.

Замечание 2. По следам плоскость удобно строить, представив уравнение плоскости в виде

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, так как - отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Пусть требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Пусть точка - текущая точка плоскости.

Тогда вектор, лежащий на плоскости, перпендикулярен вектору и из условия перпендикулярности получаем

(1)

Уравнение (1) является искомым уравнением плоскости.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось

В этом случае вектор нормали к плоскости а в качестве точки выберем начало координат. Тогда из уравнения (1) имеем

Дата добавления: 2014-10-22