Умножение матриц

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ЧИСЛО. СВОЙСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

МАТРИЦЫ, ВИДЫ МАТРИЦ

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

Литература: 1. [1Д ], § § 17,24

2. [ 2Д ],§§3,15

3. (3Д) гл. У,§§1,5

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из элементов, расположенных в m строках и n столбцах. Она обозначается следующим образом

или или.

Элементы матрицы (первый индекс i - номер строки, второй j - номер столбца) могут быть числами, функциями и т.п. В общем виде матрицу обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например, А,В,... или в виде

Матрица называется квадратной, если у нее число строк равно числу столбцов (m = n). В этом случае число n называется порядком матрицы, а сама матрица называется матрицей n- го порядка.

Элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ квадратной матрицы, а элементы (т.е. имеющих сумму индексов, равную n+1)- побочную диагональ.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1,а остальные элементы равны 0. Она обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид

.

Нулевая матрица - это матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица может быть любого размера. Например,

О=.

К числу линейных операций над матрицами относятся две операции:

1) сложение матриц;

2) умножение матриц на число.

Эта операция определена только для матриц одинакового размера.

Суммой двух матриц А и В называется матрица С, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В.

Пример 1. Даны две матрицы

и

Найти их сумму.

Решение.

Операция вычитания матриц определяется как действие обратное сложению и сводится к вычитанию соответствующих элементов матриц. Для матриц А и В примера 1

Произведением матрицы А на число к называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам данной матрицы А, умноженным на число к.

Так как линейные операции над матрицами сводятся к аналогичным операциям над числами, то их свойства определяются свойствами сложения и умножения чисел:

1. Сложение матриц коммутативно (перестановочно) А + В = В + А;

2. Сложение матриц ассоциативно (сочетательно) А + (В + С) = (А + В) + С;

3. Сложение матриц и их умножение на число подчиняются дистрибутивному (т.е.распределительному закону) к (А + В) = к А +к В

(к₁ + к₂) А = к₁ А + к₂ А.

Операция умножения матриц вводится для матриц, удовлетворяющих условию: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матрицы А размером m n на матнрицу. В размером n p называется матрица размером m p, элемент i - й стро

ки и j -го столбца которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В

Произведение матриц (в отличие от произведения действительных чисел) не подчиняется переместительному закону, т.е. в общем случае АВ ВА.

Пример 2. Найти произведение АВ матриц

.

3 х 4 4 х 2.

Решение. Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то можно матрицу А умножить на В (обратите внимание В на А не умножается). При этом получаем матрицу С размером 3 Х 2. Ее элементы

с₁₁=2 ·1 +4·4 + 1·(-5) + 6 · 1=19, с₁₂=2 · 2 + 4 · (-3) + 1· 2 + 6 · 0 = -6,

с₂₁= 5 · 1 + (-1) · 4 +0 · (-5) +3 · 1 = 4, с₂₂=5 · 2 + (-1) · (-3) + 0 · 2 +3 · 0 = 13

с₃₁=2 · 1 + 0 ·4 + 3 · (-5) + (-1) ·1 = -18, с₃₂=(-2) · 2 + 0 · (-3) + 3 · 2 + (-1) ·0 = 2.

Итак,

.

Дата добавления: 2014-10-22