Правило Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Литература: 1. [ 1Д ], §21,

2. [ 2 Д], §4,

3. [ 3 Д], § 2,гл.У.

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

где - коэффициенты при неизвестных, неизвестные, - свободные члены уравнений.

Решение системы с n неизвестными называется любая совокупность значений неизвестных подстановка которых в каждое уравнение системы превращает их в верное равенство (тождество).

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Система уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее больше одного решения.

Литература: 1.[ 1Д ]‚ § 21;

2.[ 2Д ]‚ § 4;

3.[ 3Д ]‚гл.Ў‚ § 2.

Это правило применяется тогда, когда число уравнений системы равно числу неизвестных в ней (m = n). Заметим также, что определителем такой системы называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

Правило Крамера:

а) если определитель системы n уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам

где - определитель системы, (i - 1,2,...n) - определитель, отличающийся от определителя системы тем, что в нем i - й столбец заменен столбцом свободных членов уравнений системы;

б) если определитель системы = 0, но хотя бы один из определителей, то система решения не имеет (несовместна);

в) если определитель системы и все определители, то система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример 8. Решить систему уравнений.

Решение. Определитель системы.

Так как, то система имеет по правилу Крамера единственное решение. Для нахождения вычислим определители

Тогда

Пример 9. Решить систему методом Крамера

Решение. Определитель системы

Вычисляем определитель

Так как, система решений не имеет.

Пример 10. Решить систему методом Крамера

Решение. Вычисляем определители

Так как определитель системы то

Пример 11. Решить систему методом Крамера

Решение. Легко убедится в том, что Выберем в матрице системы отличный от нуля минор второго порядка, например, минор М₁₁. Оставим только первое и второе уравнения системы и перепишем их в виде

Применим к этой системе правило Крамера, считая произвольным параметром. Имеем

Так как определитель, то

Пример 12. Решить систему методом Крамера

Решение. Легко убедиться, что. Проверяя в матрице все миноры второго порядка, видим, что все они равны нулю. Выберем какие-либо два уравнения системы, например, первое и второе

Применим к этой системе (для каких-либо двух неизвестных, например, и) правило Крамера. Получим

Таким образом, главный определитель системы =0, а вспомогательный. Система несовместна.

Дата добавления: 2014-10-22