Свойства определителей

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ ВТОРОГО, ТРЕТЬЕГО И n- ГО ПОРЯДКОВ

Литература: 1. [1Д],§§ 18 - 20,

2. [2Д],§§ 1, 2,

3. [3Д],§ 1,гл.У.

Понятие определитель вводится лишь для квадратных матриц.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу det А =.

Помимо символа det А определитель часто обозначают.

Итак, =

Определителем матрицы 3-го порядка А =

называется число, вычисляемое по следующему правилу:

det А = = - +

С учетом значений полученных определителей второго порядка определитель 3-го порядка равен

=

Первое из слагаемых со знаком “ + “ представляет собой произведение элементов, расположенных на главной диагонали матрицы. Остальные два содержат элементы, расположенные в вершинах треугольников с основанием, параллельным главной диагонали:

= + + - - -

Со знаком “ - “ входят произведения элементов побочной диагонали () и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными этой диагонали (и).

Это правило вычисления определителя 3 -го порядка называется правилом треугольников (или правилом Саррюса).

Определители матриц 4 - го и более порядка вводятся аналогично при помощи определителей 3 - го порядка

+

Аналогично, используя значение определителей n-1 -го порядка вводятся определители n-го порядка. Такой способ введения определителей называется индуктивным. Обобщая понятие определителя квадратной матрицы n-го порядка, заметим,что он представляет собой число, равное сумме n! cлагаемых, причем эти слагаемые есть различные произведения n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенным знаком, но этот вопрос в данном пособии не рассматривается.

Пример 4. Вычислить определитель

Пример 5. Вычислить определитель 3 - го порядка

47 Здесь вычисления произведены по правилу треугольников:

со знаком “+” 1 ·(-1) ·(-2)+4 ·(-7) ·3+2 ·5 ·6=-22

со знаком “-” -(6 ·(-1) ·3+4 ·2 ·(-2)+(-7) ·5 ·1)=-(-69)=69.

Свойства определителей любого порядка рассмотрим на примере определителей 3 - го порядка.

1) При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, что и строки, определитель не изменяется, т.е.

.

Это свойство определяет равноправие строк и столбцов определителя (т.е. все свойства для строк справедливы и для столбцов и наоборот).

2) При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет свой знак, например,

= -.

3) Если все элементы некоторого столбца (строки) состоят из нулей, то определитель равен 0.

4) Общий множитель всех элементов столбца (строки) можно вынести за знак определителя, например,

5) Определитель, содержащий два одинаковых столбца (строки) равен 0.

6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю:

7) Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же столбце (строке) стоят первые слагаемые, а в другом - вторые. Остальные элементы у обоих определителей одинаковые. Так,

8) Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и тоже число, т.е..

Следующие два свойства определителя связаны с понятием минора и алгебраического дополнения элемента определителя.

Минором элемента определителя называется определитель, получаемый из данного вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых этот элемент расположен. Например, минором элемента определителя называется определитель.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, умноженный на, где i - номер строки, j - номер столбца элемента. Алгебраическое дополнение обычно обозначается. Алгебраическое дополнение для элемента определителя 3 - го порядка имеет вид

9) Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например,

или.

Разложение определителя по элементам строк и столбцов включает в себя как частный случай правила вычисления определителей, указанные в определении определителей 3 - го,4 - го,...... n -1 и n- го порядка.

Свойства определителей широко применяются для их вычисления.

Пример 6. Вычислить определитель.

Решение. 1-й способ. Определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу треугольника 1 ·2 ·2 –5 ·(–1) ·2 =-1.

2-й способ. Используем свойство 9 о разложении определителя по элементам строки (столбца). Если разложить определитель по элементам любой строки (столбца), то придется вычислять три алгебраические дополнения. Число вычислений уменьшится, если среди элементов строки будут нулевые (для них алгебраические дополнения считать нецелесообразно, так как их произведения на нулевые элементы равны 0). Поэтому предварительно преобразуем определитель так, чтобы в нем имелась строка (столбец), в котором был бы всего один ненулевой элемент. Для этого прибавим к 1-й строке 2 - ю, умноженную на 2, а к 3 - й также 2-ю, умноженную на -3.

Раскладывая полученный определитель по элементам 1 - го столбца, имеем

.

Вынеся множитель (-1) из 2 - й строки (свойство 4), имеем

.

Пример 7. Вычислить.

Решение. Из 1 - й строки вынесем общий множитель 2 за знак определителя.

.

Преобразуем полученный определитель так, чтобы в 3 -й строке был один ненулевой элемент. Для этого к элементам 1-го столбца прибавим элементы 3-го столбца, умноженного на -4, а к элементам 2-го столбца прибавим элементы третьего, умноженные на 2. Получим:

Дата добавления: 2014-10-22