Уравнения прямой в пространственной системе координат

Угол между двумя плоскостями

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть точка - текущая

точка плоскости. Построим векторы

. Они компланарны,

т.е. их смешанное произведение

или

(2)

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки

Из уравнения (2) получим

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

Очевидно, что угол между двумя

плоскостями равен углу между их

нормальными векторами.

Из этого следует

(3)

Если плоскости перпендикулярны, то

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны и тогда условие параллельности принимает вид

Пример 5. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями и

По формуле (3) получаем

т.е. данные плоскости перпендикулярны.

4.5. Расстояние от точки до плоскости

Требуется найти расстояние от плоскости до точки. М ₀

Рассуждая аналогично, как и

для случая прямой на плоскости, d

получаем М

или

(4)

Пример 6. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости и отстоящей от неё на расстояние

Уравнение искомой плоскости в силу условия параллельности имеет вид Возьмём любую точку, принадлежащую плоскости, например, точку. Тогда, используя формулу (4), получим

или

т.е. и тогда получаем две плоскости, удовлетворяющие условию задачи,

Тема 5: Прямая в пространстве

Как известно, одним из способов задания прямой является пересечение двух непараллельных плоскостей, т.е. прямая l определяется системой уравнений (5)

Кроме того, прямая l будет определена,

если задать точку, принадлежащую М

прямой и вектор, которому эта

прямая параллельна. Такой вектор называется М ₀

направляющим вектором. l

Пусть точка - текущая точка прямой, тогда из условия коллинеарности двух векторов и получаем

(6)

Если обозначить равные отношения в формуле (6) через t, то получим

(7)

Уравнения прямой вида (5)-(7) называются соответственно общими, каноническими и параметрическими. Между этими уравнениями существует определённая связь. Переход от уравнений (6) к уравнениям (7) уже рассмотрен. Пусть требуется перейти от уравнений (6) к уравнениям (5). Уравнения (6) эквивалентны системе

(8)

Система линейных уравнений (8) и определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей. Для перехода от уравнений (5) к (6) необходимо найти из системы (5) координаты любой точки М ₀, принад-лежащей прямой, а за направляющий вектор взять вектор.

Пример 7. Прямая задана общими уравнениями

Требуется получить каноническое и параметрические уравнения.

Полагая в системе, находим

Выпишем нормальные векторы и найдём их векторное произведение

Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид

и параметрические уравнения

Лекция № 12.

5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две точки и. Возьмём в качестве направляющего вектора, а за начальную точку любую из точек М ₁ и М ₂, например, М ₁. Тогда уравнение искомой прямой примет вид

(1)

5.3. Угол между двумя прямыми

Очевидно, что углом между двумя прямыми можно считать угол между их направляющими векторами и. Тогда

(2)

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны и условие параллельности принимает вид

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие векторы и условие перпендикулярности из формулы (2) примет вид

Пример 1. Две прямые и проходят через начало координат. При этом точки. При каком значении пара-метра р они перпендикулярны?

В качестве первой точки (см. формулу (1)) возьмём начало координат, тогда направляющие векторы будут равны, и из условия перпендикулярности получаем

5.4. Расстояние от точки до прямой

Пусть требуется найти расстояние от точки до прямой l, заданной каноническим уравнением

Построим вектор. z M ₁

Расстояние d от точки M ₁ до

Прямой l равно высоте параллело- M ₀ d

грамма, построенного на векторах у

и.

Так как площадь параллелограмма х l

или,

то получим (3)

Пример 2. Найти расстояние от точки до прямой

Здесь И тогда имеем

5.5. Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость P и прямая l заданы соответственно уравнениями:

Здесь - нормальный вектор l

плоскости P, - направляющий

вектор прямой l, а j - угол между прямой

и плоскостью. a j l ₁

Если l ₁ - проекция прямой l на P

плоскость P, то и тогда

Окончательно, считая, получаем

(4)

Если прямая и плоскость перпендикулярны, то векторы и коллинеарны, и тогда условие перпендикулярности примет вид

Если они параллельны, то эти векторы перпендикулярны, и условие параллельности примет вид

5.6. Пересечение прямой с плоскостью

Найдем точку пересечения прямой с плос-костью.

Запишем уравнение прямой в параметрической форме и, подставив параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим уравнение

Исключая параметр t, получим

(5)

Здесь возможны три случая:

1. По формуле (5) вычисляем значение параметра t и из уравнений прямой определяем координаты точки пересечения.

2., а. В этом случае прямая параллельна плоскости.

3. и. Тогда прямая принадлежит плоскости.

Пример 3. Определить взаимное расположение прямой, проходящей через две точки и, с плоскостью

Составим по формуле (1) уравнения прямой проходящей через эти точки:

Определим угол между этой прямой и плоскостью по формуле (4):

Из этого следует, что прямая параллельна плоскости. Проверим, принадлежит ли она плоскости? Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

откуда следует, что данная прямая принадлежит плоскости.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку. Р

Из условия компланарности векторов ММ ₀

и имеем l М ₁

Раскрывая определитель по элементам первой строки

получим искомое уравнение плоскости Р:

Лекция № 13. Тема 6: Поверхности

6.1. Уравнение поверхности

Аналогично, как и для случая линии на плоскости, уравнение поверхности – это уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на поверхности. Верно и обратное, т.е. каждое уравнение вида, (1)

вообще говоря, определяет некоторую поверхность в пространстве. Если уравнение (1) не удовлетворяется координатами ни одной точки, то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. В дальнейшем такие случаи рассматривать не будем.

Пример 1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке.

Пусть - текущая точка сферы, тогда для вектора с координатами должно выполняться условие

,

которое и является искомым уравнением сферы.

Рассмотрим один из случаев – поверхностивращения. Пусть, например, в плоскости O yz задана некоторая линия, уравнение которой

Найдём уравнение поверхности, полученной вращением этой линии вокруг оси O z. z

Возьмём произвольную точку M ₁

этой поверхности и проведём плоскость, M

перпендикулярную оси O y. Очевидно, что

в сечении получим окружность с центром O N у

в точке N. х

Тогда. С другой стороны, радиус этой окружности, где точка М ₁ принадлежит линии. Следовательно, для всех точек поверхности вращения должно выполняться уравнение

Аналогично можно получать уравнения поверхностей вращения относительно других координатных осей.

Пример 2. Найти уравнение поверхности, образованной вращением эллипса в плоскости O xy вокруг оси O x.

Для этого случая нужно провести замену в уравнении эллипса. Тогда получим уравнение, которое определяет поверхность так называемого эллипсоида вращения.

6.2. Поверхности второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана поверхность, определяемая уравнением второй степени

(2)

где коэффициенты одновременно не равны нулю. Эта поверхность называется поверхностью второго порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения (2):

1. Эллипсоид. Его каноническое уравнение.

Чтобы составить представление об этой поверхности, проведём сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Предварительно заметим, что при замене уравнение эллипсоида не изменяется – это означает, что эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей.

Например, пересекая эллипсоид плоскостями, получаем в сечениях эллипсы вида

с полуосями.

Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении а при увеличении h эллипсы уменьшаются, вырождаясь в точ-ку при.

Аналогичная картина будет в сечениях плоскостями и. На основании таких исследований можно определить окон-чательный вид эллипсоида.

z

c

- a

- b b y

a

x - c

Так же можно получить вид следующих поверхностей:

2. Однополостный гиперболоид - z

y

x

3. Двуполостный гиперболоид -

z

y

x

4. Эллиптический параболоид -

z

x y

5. Гиперболический параболоид -

z

x

y

6. Конус - z

y

x

7. Эллиптический цилиндр -

z

b у

a

x

8. Гиперболический цилиндр - z

- a

a

y

x

9. Параболический цилиндр -

z

у

x

10. Пара пересекающихся плоскостей - z

або

y

x

11. Пара параллельных плоскостей - или.

12. Пара совпадающих плоскостей -.

13. Точка -

Аналогично, как и для случая линий второго порядка, имеет место

Теорема. Для любого уравнения (2) поверхности второго порядка существует такая декартовая система координат, в которой уравнение принимает один из видов (1-13).

Пример 3. Найти точки пересечения прямой с однополостным гиперболоидом

Прямую представим параметрическими уравнениями Под-

ставим в уравнение гиперболоида, получим уравнение для нахож-дения параметра t:

.

Его корни:. Это означает, что имеются две точки пересечения прямой с гиперболоидом: и.

Какие еще могут быть варианты взаимного расположения прямой с однополостным гиперболоидом?

Материалы для практических занятий

Дата добавления: 2014-10-22