Основные уравнения электростатического поля и его характеристики

В лекции изложены уравнения электростатического поля, закон Кулона, расчёт поля по заданному распределению зарядов. Получены уравнения Лапласа - Пуассона для описания и исследования потенциальных электростатических полей. Изложены граничные условия на границе раздела сред с различными физическими свойствами.

Электростатическое поле-это частный вид электромагнитного поля. Оно создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени.

Электростатическое поле обладает способностью воздействовать на помещенные в него электрический заряд с механической силой, прямо пропорциональной значению этого заряда. В основу определения электростатического поля положено механическое его проявление. Оно описывается законом Кулона.

Закон Кулона. Два точечных заряда и в вакууме взаимодействуют друг с другом с силой , прямо пропорциональной произведению зарядов и и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними. Эта сила направлена по линии, соединяющей точечные заряды (рис.4).

,

где - кулоновская сила (Н); — заряды (Кл); — диэлектрическая постоянная (Ф/м); (Ф/м) — диэлектрическая постоянная вакуума; -относительная диэлектрическая проницаемость среды; - расстояние между заряженными телами (м).

Рис. 4

В векторной форме закон Кулона имеет вид:

Где - единичный вектор, направленный по линии, соединяющей заряды.

Закон Кулона справедлив только для однородных и изотропных сред.

Основными величинами для электростатического поля является напряженность и потенциал . Напряженность электростатического поля- величина векторная, определяемая в каждой точке значением и направлением; потенциал является величиной скалярной. Значение потенциала определяется в каждой точке поля некоторым числом.

Напряженность - это силовая характеристика электростатического поля. Она определяется следующим образом:

или в векторной форме

.

Расчет электростатического поля сводится к определению вектора напряженности поля в каждой точке пространства, где существует поле.

Энергетической характеристикой поля является – электрический потенциал :

подставив в интеграл верхний предел, получим другое выражение для :

Выражение для потенциала свидетельствует о том, что если вектор направлен в каждой точке по нормали к кривой то для всей этой кривой (рис.5):

Кривую типа называютлинией равного потенциала.

Расчёт поля и потенциалов по заданному распределению зарядов приведен в табл. 2.

Таблица 2

Распределение зарядов	Плотность заряда	Заряд	Напряжённость	Потенциал
В объёме V	Объемная (К/м^3)
На бесконечно тонких поверхностных слоях	Поверхностная (К/м^2)
Вдоль линии	Линейная (К/м)

Между вектором напряжённости и потенциалом существует связь дифференциального вида: . Данное соотношение можно истолковать следующим образом: напряженность в какой- либо точке поля равна скорости изменения потенциала в этой точке поля, взятой с обратным знаком. Знак минус означает, что направление вектора и направление противоположны.

Одной из важнейших теорем электростатики является теорема Гаусса. Она соответствует закону Кулона и принципу наложения. Теорема формулируется так:

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объём, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

В интегральной форме теорема имеет вид:

Где -вектор электрической индукции.

Но с помощью этой формулы нельзя определить, как связан исток линий в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в той же точке поля. Ответ на этот вопрос даёт дифференциальная форма теоремы Гаусса:

В электротехнических расчётах используют ещё вектор электрической индукции, или вектор электрического смещения:

,

где - электрическая постоянная или диэлектрическая проницаемость вакуума, равная ; - вектор поляризации.

=₀Eæ, где æ- диэлектрическая восприимчивость.

Смысл введения вектора электрической индукции состоит в том, что поток вектора через любую замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами, а не всеми зарядами внутри объёма, ограниченного данной поверхностью, подобно потоку вектора .

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Учитывая, что (вместо запишем его эквивалент ; вместо div напишем ) и получим:

,

.

Вместо запишем его эквивалент ; вместо div напишем :

или

Это уравнение называют уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда , называют уравнением Лапласа:

Оператор называют оператором Лапласа или лапласианом.

Раскрыв в декартовой системе координат уравнение Пуассона примет вид:

Уравнение Пуассона в декартовой системе координат:

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат:

Итак, уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. Потенциал в этой точке поля зависит от всех видов заряда, создающих поле, а не только от величины свободных зарядов.

В общем случае:

.

Используя данную формулу, следует учитывать, что потенциал на бесконечности равен нулю; заряды, создающие поле расположены в ограниченной области.

Граничные условия в электростатике. При решении задач электродинамике нужно знать, какими зависимостями связанны между собой компоненты векторов поля и потенциалы на границах разделов сред с различными физическими свойствами. На рис.6 изображена в общем виде криволинейная граница раздела сред 1 и 2 с диэлектрическими постоянными и .

и – потенциалы;

и – касательные составляющие вектора Е;

D_1n и D_2n – нормальные компоненты вектора смещения D в точках, примыкающих к границе в одном месте, но с разных сторон

В общем случае на границе с поверхностной плотностью (К/м²) может быть распределен заряд. Если далее воспользоваться теоремой Гаусса и принципом потенциальности в интегральной форме

можно показать, что:

1.На границе раздела двух сред непрерывны тангенциальные составляющие вектора напряженности .

2. Нормальная составляющая вектора скачком изменяется на величину, равную поверхностной плотности свободных зарядов на границе раздела сред

;

3. при переходе через границу раздела двух сред потенциал остается непрерывным

.

Эти связи называютграничными условиями электростатики.

Лекция 3

Дата добавления: 2014-10-22