Визначення власних частот кола

Складання характеристичного рівняння.

Розряд конденсатора на активно-індуктивне навантаження

Рис. 8.13. Коротке замикання у RLC колі

Нехай у колі, зображеному на рис. 8.13, конденсатор був заряджений до напруги u (0_-) = U ₀. Проведемо аналіз процесів в контурі, утвореному резистором, конденсатором і котушкою після замикання ключа в момент t = 0. Оскільки джерела в колі відсутні, то сталі складові рішень дорівнюють нулю. Розв’язок буде складатися лише з однієї вільної складової.

За другим законом Кірхгофа для кола, зображеного на рис. 8.1, після комутації (t ≥ 0) маємо:

.

Враховуючи те, що , одержуємо диференціальне рівняння другого порядку для вільної складової напруги

.

Характеристичне рівняння при цьому має вигляд:

Характер електромагнітних процесів у контурі залежить від співвідношення параметрів R, L, С, що входять у вираз для коренів характеристичного рівняння

. (8.5)

Залежно від знака підкореневого виразу корені можуть бути дійсними або комплексно-спряжені. Вони визначають характер вільних складових перехідних струмів і напруг.

Введемо позначення:

– коефіцієнт загасання вільної складової;

– резонансна частота

тоді .

В залежності від співвідношення між величинами R, L та С отрима­ємо три варіанти коренів характеристичного рівняння:

а) при δ>ω₀ корені будуть дійсними та різними, а перехідний процес – аперіодичним;

б) при δ=ω₀ одержимо два дійсних, однакових кореня p ₁ =p ₂ =- δ, що відповідає граничному аперіодичному режиму. Параметри кола, за яких відбувається цей режим, називаються критичними i між ними існує така залежність: ;

в) при δ<ω₀ корені p вийдуть комплексно-спряженими

, де ,

а перехідний процес матиме коливальний характер, в якому d характеризує згасання амплітуди коливань, а – їх частоту.

Дата добавления: 2014-10-23