Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференциальное уравнение упругой линии балки




Перемещения при изгибе.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом перпендикулярными к изогнутой продольной оси (рис.6.23). Деформированная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям у(z) их центров тяжести сечений – прогибами балки. Прогибы у(z) и углы поворота сечений θ(z) связаны между собой. Из рис.6.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии, так как это углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Согласно геометрическому смыслу первой производной у' =tgφ. Таким образом, tg θ = tgφ = у'.

В пределах упругих деформаций прогибы балок малы, а углы поворота не превышают 0,1рад, поэтому можно принять θ= у'.

Форма упругой линии балки определяется выражения кривизны (α), полученной при выводе формулы нормальных напряжений.

В тоже время кривизна плоской кривой равна. (b) Из равенства правых частей выражений (α) и (b)следует . Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением упру-гой линии балки. Как отмечалось выше, при малых деформациях (у')2<<1, поэтому этой величиной можно пренебречь. В результате получим упрощенное
Рис.6.22

 

 

дифференциальное уравнение упругой линии балки . (6.14)

Выбор знака в правой части этого уравнения определяется направлением оси У, так как от этого направления зависит знак второй производной

 

При ЕIх=const, М=М(z) =,.

Постоянные интегрирования C и D определяются из граничных условий.

EI EIEI Из граничных условий при z = 0 следует:,
Рассмотрим дифференциальное уравнение консольной балки, загруженной парой сил на свободном конце (рис.6.23).

 

 

EI.

Полученное уравнение прогибов представляет квадратичную параболу, но по выра-жению == const балка должна изогнуться по дуге окружности. В полученных результатах наглядно проявляется приближенный характер уравнения . Однако, в пределах длины балки ℓ указанные дуги параболы и окружности практически совпадают.

Если балка имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями из-гибающих моментов, то дифференциальные уравнения упругой линии также будут различны. Интегрирование таких уравнений для n участков приводит к 2 n постоянных интегрирования. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства проги-бов и углов поворота сечений на стыке смежных участков. Рассмотрим это на примере балки с двумя участками (рис.6.24).

I участок: 0: EIx=z,

 

EIx= EIx=  
ZII

Рис.6.24

I I участок: α EIx=z – F(z-α),

EIx=,

EIx=.

Здесь интегрирование идет без раскрытия скобок, т.е., переменной интегрирования является (z – α) а не z, что скажется только на величинах СI I , DI I

Граничные условия: ;

, =0,

,

.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 1166; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.