Задачи определения напряжений и деформаций при кручении брусьев некруглого поперечного сечения нельзя решить методами сопротивления материалов. Эти задачи рассматриваются в теории упругости. Причина этого в том, что у таких брусьев гипотеза плоских сечений не применима, так как поперечные сечения заметно искривляются, что и приводит к существенному изменению распределения напряжений.
Рис. 7.12
б)
а)
б)
Отметим некоторые закономерности распределения напряжений в сечениях некруглой формы, а затем приведем готовые решения, полученные методами теории упругости для некоторых форм поперечных сечений. Прежде всего, покажем, что касательные напряжения в поперечных сечениях для точек вблизи контура направлены по касательной к нему. Для этого
Рис.7.12
положим, что в некоторой точке А касательное напряжение τ направлено под углом, тогда его можно разложить по направлениям касательной и нормалик контуру сечения (7.12, а). По закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно возникнуть напряжение , но эта поверхность свободна от нагрузки, следовательно, , направлено по касательной к контуру.
Аналогично можно показать, что в сечении с внешними углами напряжения равны нулю. Разложим напряжения вблизи угла на две составляющиеи (7.12,б), так как парные им напряжения и равны нулю, то и в ноль обращаются и. Значит, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют.
На рис. 7.13 показана эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения, полученная методами теории упругости. Как видим, в углах напряжения равны нулю, а наибольшей величины они достигают в точках А по средине больших сторон:
, (7.15)
Рис.7.13
в точках В касательные напряжения вычисляются по формуле: .
Здесь h – размер большой стороны, b – размер меньшей
стороны прямоугольника.
Коэффициенты α, β и η зависят от отношения сторон h/b.
Угол закручивания находится из выражения . (7.16)
Коэффициент так же является функцией отношения сторон. При h/b≥10 .
Таблица
h/b
1,5
1,75
2,5
∞
α
0,208
0,231
0,239
0,246
0,258
0,267
0,282
0,299
0,307
0,313
0,333
β
0,141
0,196
0,214
0,229
0,249
0,263
0,281
0,299
0,307
0,313
0,333
η
1, 00
0,859
0,82
0,795
0,766
0,753
0,745
0,743
0,742
0,742
Для формул (7.15), (7.16) введем геометрические параметры:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
Задачи определения напряжений и деформаций при кручении брусьев некруглого поперечного сечения нельзя решить методами сопротивления материалов. Эти задачи рассматриваются в теории упругости. Причина этого в том, что у таких брусьев гипотеза плоских сечений не применима, так как поперечные сечения заметно искривляются, что и приводит к существенному изменению распределения напряжений.
и нормали
к контуру сечения (7.12, а). По закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно возникнуть напряжение 
, но эта поверхность свободна от нагрузки, следовательно, 
, 
и 
(7.12,б), так как парные им напряжения 
и 
равны нулю, то и в ноль обращаются 
На рис. 7.13 показана эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения, полученная методами теории упругости. Как видим, в углах напряжения равны нулю, а наибольшей величины они достигают в точках А по средине больших сторон:
, (7.15)
.
. (7.16)
так же является функцией отношения сторон. При h/b≥10 
.
∞
,