Критической силы

Влияние условий закрепления стержня на величину

Формула Эйлера для критической силы

Вывод формулы Эйлера рассмотрим на примере двух опорной балки, нагруженной сжимающей осевой силой F. При F=F_кр балка прогнется. Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси:

, .

здесь I=I_min.

Обозначим, получим дифференциальное уравнение второго порядка без правой части.

(8.1).

Его решение имеет вид:

.

Значения А и В определятся из граничных условий (z = 0 и z=ℓ). В рассматриваемой балке имеем при z=0 y=0; при z=ℓ y=0. Тогда из (8.1) следует

так как , sinkℓ≠0, то В=0, тогда

Asinkℓ=0.

Но A≠0, так как балка не будет иметь прогибов, поэтому

sinkℓ=0, т.е.kℓ=0,, 2π, 3π,…nπ.

Из последнего равенства находим

k²==,

откуда следует формула

,

n≠0, тогда при n=1 получим окончательное выражение для критической силы, называемой формулой Эйлера:

. (8.2)

Уравнение изогнутой оси стержня при потере устойчивости определится формулой ., т.е. она представляет собой дугу синусоиды. Для рассмотренного стержня, шарнирно закрепленного по концам (эйлеровский случай), изогнутая ось принимает форму полуволны синусоиды длиной ℓ. Стержень с жестким закреплением при изгибе принимает форму четверти волны синусоиды, а полая полуволна будет располагаться на длине 2ℓ. Для такого стержня критическая сила будет равна.

Для сопоставления критической силы эйлеровского стержня с критической силой стержня, имеющего другие условия закрепления концов, вводится коэффициент приведения длины, который показывает во сколько раз следует изменить длину стержня с заданными ус-

ловиями закрепления по сравнению с длиной стержня с с шарнирно закрепленными концами. Форма изогнутой оси и коэффициенты приведения её длины представлены на рисунке

С учетом рассмотренного коэффициента приведения длины стержня μ критическая сила будет определяться формулой (8.3).

Дата добавления: 2014-10-23