КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Основные теоремы теории вероятностиЛекция №2 ОТВЕТЫ 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. 6.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей событий. Определение 10. Суммой или объединением двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А, В и обозначаемое как А+В или А В. Определение 11. Пересечением или произведением событий А и В называется событие, состоящее в совместном наступлении событий А, В и обозначаемое как АВ или А В. Замечание 1. Для того чтобы не ошибиться, с чем имеем дело, произведением или суммой, можно использовать простое правило: если при описании события используем союз «и», то это произведение, если союз «или», то это сумма. Теорема 1.(Теорема сложения вероятностей для несовместных событий). Пусть события и несовместны, тогда . Следствие 1. Если события попарно несовместны, то . Следствие 2. Если события образуют полную группу, то вероятность их суммы равна 1, т.е., =1. Следствие3. Сумма противоположных событий равна 1, т.е., . Замечание 2. Следствие 3 удобно использовать при вычислении вероятности появления хотя бы одного события. Теорема 2. (Теорема сложения вероятностей для совместных событий). Если события и совместны, то . Определение 12. Зависимыми и независимыми называют два события, если вероятность одного из них меняется или не меняется, в зависимости от того произошло уже другое событие или не произошло. Теорема 3. (Теорема умножения вероятностей для независимых событий). Если события и независимы, то . Определение 13. События называются независимыми в совокупности, если каждое из них независимо по отношению к любому из остальных и по отношению к любому произведению остальных. Следствие 1. Если события независимы в совокупности, то . Следствие 2. Если события независимы в совокупности, то вероятность того, что наступит хотя бы одно из них, равна , где. Определение 14. Вероятность Р(В/А) наступления события В при условии наступления в то же время события А называют условной. Теорема 4. (Теорема умножения вероятностей для зависимых событий). Если события и зависимы, то . Следствие 1. Если событиязависимые, то . Следствие 2..
Рассмотрим несколько примеров на применение этих теорем.
Пример 6.1. Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Известны вероятности попаданий:,,. Найти вероятности следующих событий: 1) – мишень поражена одним выстрелом; 2) – мишень поражена двумя выстрелами; 3) – мишень поражена тремя выстрелами; 4) – мишень не поражена; 5) – мишень поражена хотя бы одним выстрелом. Решение. Введем следующие события: – попал первый стрелок, – попал второй стрелок, – попал третий стрелок. 1) Событие – мишень поражена одним выстрелом означает, что в мишень попал только один из стрелявших, т.е., первый стрелок попал, второй и третий не попали или второй попал, первый и третий промахнулись, или первый и второй стрелки не попали, а третий был точен. Составим событие из событий,, и им противоположных, используя понятие суммы и произведения событий и замечание 1. . События,, несовместны и независимы, поэтому воспользуемся теоремами 1 и 3. 2) Рассуждая аналогично п. 1), составим событие А2: . 0,8·0,6·(1-0,9)+0,8·(1-0,6)·0,9+(1-0,8)·0,6·0,9=0,444. 3) Событие означает, что попали все стрелки: и первый и второй и третий, значит Тогда по теореме 3: 0,8·0,6·0,9=0,432. 4) Событие – мишень не поражена, означает, что все стрелки промахнулись, т.е. . Тогда по теореме 3: (1-0,8)(1-0,6)(1-0,9)=0,008. 5) Для вычисления вероятности события воспользуемся замечанием 2. Введем противоположное событие - все промахнулись (заметим, что событие совпадает с событием). Тогда =1-0,008=0,992.
Пример 6.2. Из 50 вопросов к экзамену два студента выучили 40. Найти вероятность того, что оба студента получат по вопросу, который они выучили. Решение. Событие – первый студент получил вопрос, который выучил, событие – второй студент получил вопрос, который выучил. События и – зависимые, поэтому воспользуемся теоремой 4: .
6.2. Формулы полной вероятности и Байеса. Теорема 5. (Формула полной вероятности). Пусть некоторое событие А может произойти лишь вместе с одним из n несовместных событий H1, H2, …, Hn, составляющих полную группу (назовем их гипотезы). Тогда вероятность появления события А в этом испытании вычисляется по формуле Разберем пример на применение этой теоремы.
Пример 6.3. Задача о переливании крови. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить кровь только первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую группу, 37,5% - вторую, 20,9% - третью, 7,9 % - четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому пациенту можно перелить кровь случайного донора. Решение. Воспользуемся теоремой 5. Пусть событие – пациент выжил, т.е. группа крови ему подошла. Возможны следующие гипотезы: H1 – у пациента первая группа крови; H2 – у пациента вторая группа крови; H3 – у пациента третья группа крови; H4 – у пациента четвертая группа крови. Найдем вероятности гипотез: исходя из условий задачи =0,337, =0,375, =0,209, =0,079. Следует обязательно проверять, чтобы сумма вероятностей гипотез равнялась единице. Контроль: + + + =0,337+0,375+0,209+0,079=1. Найдем условные вероятности события. Если имеет место гипотеза, т.е. у пациента первая группа, значит, ему подходит только донор с первой группой, тогда, т.к. 33,7% населения имеют первую группу. Если имеет место гипотеза, то пациенту подходи донор с первой или второй группой крови, следовательно,. Если имеет место гипотеза, то пациенту подходи донор с первой или третьей группой крови, следовательно,. Если имеет место гипотеза, то пациенту подходи донор с любой группой крови, следовательно,. Найдем полную вероятность события А.
Заметим, что при решении задачи мы не учитывали такой важный аспект при переливании крови, как резус-фактор.
Пример 6.4. В двух урнах находится по 3 белых и 7 красных шаров. Из первой урны наудачу извлекают один шар и кладут его во вторую урну. После этого из второй урны извлекают наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба они окажутся красными. Решение. В данном случае гипотезами являются два альтернативных события: H1 – из первой урны во вторую переложен белый шар; H2 – переложен красный шар. По условию =0,3; =0,7. От того, какое из этих событий произошло, зависит соотношение белых и красных шаров во второй урне, а следовательно, и вероятность события А, состоящего в извлечении из второй урны двух красных шаров. Найдем условные вероятности события А. Если имела место гипотеза H1, то во второй урне окажется 4 белых и 7 красных шаров, следовательно, . Если же произошло событие H2, то изменится количество красных шаров во второй урне – их станет 8, следовательно,
Теперь по формуле полной вероятности находим вероятность события А:
Пусть по прежнему производится испытание, в результате которого событие А может произойти лишь вместе с одним из n несовместных событий H1, H2, …, Hn с вероятностями,. Допустим, что событие А произошло, но с какой из гипотез – неизвестно. Возникает вопрос: каковы теперь вероятности гипотез после того, как стал известен результат испытания? Ответ на поставленную задачу дает следующая теорема.
Теорема 6. (Формула Байеса). Пусть случайное событие А может произойти лишь вместе с одним из n несовместных событий H1, H2, …, Hn, составляющих полную группу, и в результате испытания событие А произошло. Тогда вероятность того, что оно произошло вместе с гипотезой Hi, вычисляется по формуле где - полная вероятность события А. Рассмотрим задачу на применение этой формулы. Вернемся к задаче о переливании крови (пример 2.3).
Пример 6.5. Пусть в условиях примера 2.3 событие А произошло – переливание крови прошло успешно. Какова вероятность того, что у пациента была третья группа крови? Решение. По формуле Байеса получим условную вероятность гипотезы H3: . Формула Байеса играет значительную роль в практических приложениях: она используется в теории стрельбы, в теории распознавания образов, технической диагностике и т.д.
Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 1310; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |