Регрессионные модели множественной корреляции

Расчетные показатели

i		(^2		(^2
	1,5	1,44	1,35	1,82
	2,0	0,49	1,64	1,12
	1,4	1,69	1,64	1,12
	2,3	0,16	1,99	0,50
	2,7	0,00	2,93	0,05
	4,0	1,69	4,31	2,59
	2,3	0,16	2,93	0,05
	2,5	0,04	2,41	0,08
	6,6	15,21	5,23	6,40
	1,7	1,00	1,99	0,50
	27,0	21,88	26,42	14,26

Используя суммы, записанные в итоговой строке табл. 1.11.10, вычислим:

среднее значение результативного признака

,

общую дисперсию

,

и факторную дисперсию

.

По формуле (1.11.24) вычислим индекс корреляции

.

Проверим на значимость полученное значение индекса корреляции:

1) вычислим эмпирическое значение по формуле (1.11.25):

;

2) в табл. П5 по уровню значимости 0,05 и числам и найдем критическое значение:.

Так как, то с вероятностью значение индекса корреляции следует признать значимым.

Таким образом, зависимость затрат на ремонт оборудования от продолжительности его эксплуатации является сильной (табл. 1.11.1).

Упражнение 1.11.2. По данным упражнения 1.11.1 постройте все рассмотренное регрессионные модели и вычислите их средние ошибки аппроксимации. По наилучшей модели оцените связь между признаками у и х.

Корреляционная зависимость результативного признака от нескольких факторов называется множественной корреляцией.

Регрессионной моделью множественной корреляции называется уравнение

,

где f – некоторая математическая функция;

– параметры;

– значения факторов;

– теоретические значения результативного признака.

Линейная модель корреляционной зависимости результативного признака y от m факторов имеет вид:

,. (1.11.33)

Модель (1.11.33) так же, как и линейную модель (1.11.5) парной корреляции, можно записать в матричной форме (1.11.9), где

,,,

а МНК-оценки параметров этой модели можно вычислить по формуле (1.11.10).

Некоторые нелинейные регрессионные модели множественной корреляции сводятся к линейной модели. Рассмотрим некоторые из них.

1. Полулогарифмическая модель

, (1.11.34)

является линейной моделью относительно.

2. Гиперболическая модель

, (1.11.35)

является линейной моделью относительно.

3. Экспоненциальная модель

, (1.11.36)

логарифмированием преобразуется к линейной модели:

lg,. (1.11.37)

4. Степенная модель

, (1.11.38)

логарифмированием преобразуется к линейной модели:

lg,. (1.11.39)

Адекватность модели множественной корреляции оценивается средней ошибкой аппроксимации (1.11.19).

Коэффициент линейной модели показывает, на сколько единиц изменяется значение результативного признака при увеличении k -го фактора на одну единицу.

Сравнение МНК-оценок параметров линейной модели дает представление о степени влияния факторов на результативный признак только тогда, когда они сопоставимы. Чтобы сделать эти оценки сопоставимыми, их нормируют по формуле

, (1.11.40)

где и - среднеквадратические отклонения соответственно k -го фактора и результативного признака.

Частный коэффициент эластичности:

, (1.11.41)

где - среднее значение k- го фактора,

- среднее значение результативного признака,

- коэффициент линейной модели при k- ом факторе,

показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак при изменении k- го фактора на 1%.

Сила связи линейной множественной корреляции оценивается с помощью коэффициента множественной корреляции, вычисляемого по формуле

. (1.11.42)

Значение коэффициента множественной корреляции на значимость проверяется по правилу:

1) вычислить эмпирическое значение

, (1.11.43)

где n – число наблюдений, m – число факторов;

2) найти в табл. П5 по числам и и уровню значимости a критическое значение;

3) если, то коэффициент множественной корреляции признается значимым с вероятностью.

В случае двухфакторной линейной корреляции множественный коэффициент корреляции можно вычислить, зная линейные коэффициенты парных корреляций, по формуле

. (1. 11.44)

Для оценки вклада во множественный коэффициент корреляции каждого из факторов вычисляют частные коэффициенты кор­реляции, т. е. коэффициенты корреляции, в которой исключается влияние одного фактора. В случае двухфакторной линейной корреляции частные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам

и. (1.11.45)

Квадрат частного коэффициента корреляции называется частным коэффициентом детерминации. Он указывает вклад фактора в колеблемость результативного признака.

Наличие мультиколлинеарности, т. е. линейной зависимости меж-ду факторами, приводит к искажению значений параметров линейной модели и изменению смысла их экономической интерпретации. Эта проблема решается в эконометрике.

Пример 1.11.3. В табл. 1.11.11 приведена зависимость прибыли у млн. руб. от затрат коп. на 1 руб. произведенной продукции и от стоимости млрд. руб. основных фондов предприятия.

Таблица 1.11.11

i				i
			4,3				3,9
			5,9				4,3
			5,9				4,9

Составим линейную модель (1.11.9) данной зависимости, где

и.

Найдем МНК-оценки параметров модели по формуле (1.11.10), применяя функции МУМНОЖ и МОБР для вычисленияв Excel произведения матриц и обратной матрицы:

=

=,

,

=,

= =.

Таким образом, линейная регрессионная модель зависимости прибыли от затрат на 1 руб. произведенной продукции и от стоимости основных фондов имеет вид:

. (1.11.46)

Для вычисления средней ошибки аппроксимации (1.11.19) модели (1.11.46) и частных коэффициентов эластичности составим расчетную табл. 1.11.12. Вычислим:

средние значения:

,,;

среднюю ошибку аппроксимации:

;

частные коэффициенты эластичности:

и.

Таблица 1.11.12

Дата добавления: 2014-10-23