План решения задач. С помощью принципа суперпозиции

С помощью принципа суперпозиции

Расчет напряженности и потенциала электростатического поля

1.Изобразите на рисунке схему расположения точечных зарядов или заряженных тел в соответствии с условием задачи. На схеме: 1) покажите знаки зарядов и их символы с индексом, равным номеру заряда; 2) обозначьте точку, в которой нужно определить величины напряженности и потенциала ЭСП, например, точка .

2. Запишите принцип суперпозиции для расчета напряженности поля в следующем виде:

а) если ЭСП создается системой точечных зарядов или заряженных тел, то результирующий вектор

(1)

где – вектор напряженности поля i-того заряда или заряженного тела; число слагаемых в уравнении (1) равно числу зарядов, создающих поле;

б) если ЭСП создается зарядом, распределенным равномерно, например, по длине заряженного тела, тогда

, (2)

где – бесконечно малый вектор напряженности, создаваемый элементарным зарядом , выделенным на заряженном теле.

3. Так как в уравнениях (1) и (2) записана сумма векторов, которые следует складывать геометрически, то необходимо показать на рисунке направления суммируемых векторов. Для этого мысленно помещают в исследуемую точку поля А пробный положительный заряд и показывают направление сил , действующих на этот пробный заряд со стороны каждого i-того заряда (естественно, что векторы всех сил, приложенных к заряду , начинаются в точке А). Поскольку векторы напряженности , то обозначают изображенные векторы символами , где индекс величинысовпадает с индексом заряда, создающего поле. Аналогично определяют направление векторов , которые выбирают, как правило, в точках заряженного тела, распложенных симметрично относительно его оси симметрии.

4. Сложение двух векторов обычно выполняют с помощью правила параллелограмма (или треугольника); при этом модуль определяемого результирующего вектора находят по теореме косинусов. Если число складываемых векторов равно трем и более, в том числе и при суммировании бесконечно малых векторов , то находят проекции результирующего вектора на координатные оси , проецируя на эти оси каждый из суммируемых векторов. В этом случае модуль результирующего вектора определяют с помощью теоремы Пифагора: . Оси направляют таким образом, чтобы удобно было записывать проекции , т. е. чтобы были известны углы, образованные векторами с осями координат. Либо одну из осей проводят по предполагаемому направлению результирующего вектора , которое можно определить, используя симметрию в расположении зарядов, если таковая имеется.

5. Потенциал электростатического поля в исследуемой точке А находят также с помощью принципа суперпозиции:

, (3)

алгебраически суммируя потенциалы, которые создаются в данной точке А заряженными телами, в том числе, точечными зарядами или бесконечно малыми точечными зарядами . При этом суммировании знаки потенциалов равны знакам соответствующих -тых зарядов, в частности, отрицательный заряд создает в точке А электростатическое поле с отрицательным значением потенциала.

Задача 4. Два точечных заряда и расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной . Определите напряженность электростатического поля и его потенциал в точке А, находящейся в третьей вершине.

Дано Решение

;

;

;

А

Рис. 11

Расположение зарядов относительно точки А показано на рис. 11.
1) Для расчета напряженности используем принцип суперпозиции ЭСП в виде:

(1)

где и – напряженности полей, создаваемых в точке А зарядами соответственно.

Чтобы определить направление складываемых векторов, в точку А мысленно помещаем пробный заряд и рассматриваем действующие на него силы: первый заряд отталкивает заряд силой , направленной по линии соединяющей заряды , а второй – отрицательный заряд притягивает к себе положительный заряд силой , также направленной по линии, соединяющей заряды . Напряженность поля, создаваемого i-тым зарядом, , т. Е. совпадает по направлению с соответствующей силой.

Модуль результирующего вектора можно найти любым из двух способов: а) по теореме косинусов:

, (2)

где напряженности ЭСП, создаваемого точечными зарядами в точке А, находящейся на расстоянии от каждого заряда:

; (3)

б) по проекциям принципа суперпозиции (1) на координатные оси :

; (4)

(5)

Ось направляем вдоль вектора , при этом вектор образует известные углы с осями (см. рис. 11). Следовательно, проекции результирующего вектора : , – на координатные оси , будут определяться выражениями:

В результате

(6)

Подставим формулы (3) для напряженностей в выражение (6) и, вынося одинаковый сомножитель за скобки и из радикала, получим следующую расчетную формулу величины :

(7)

Вычисляем по формуле (7) напряженность электростатического поля в точке А, заметив, что при этом нужно подставлять модуль отрицательного заряда , поскольку знак его уже учтен в направлении вектора :

.

2) Расчет потенциала в точке А электростатического поля выполняем, используя принцип суперпозиции:

, (8)

где потенциалы ЭСП, созданного точечными зарядами в точке А, находящейся на расстоянии от каждого заряда, определяются следующими формулами:

(9)

С учетом этих формул равенство (8) запишется в виде:

(10)

В полученной расчетной формуле каждый заряд записывается с его знаком, так как только в этом случае получим алгебраическую сумму потенциалов полей, создаваемых отдельными зарядами. Вычислим потенциал в исследуемой точке электростатического поля по формуле (10):

.

Задача 5. Четыре точечных заряда , , и , расположены в вершинах квадрата со стороной . Определите напряженность ЭСП и его потенциал в точке О пересечения диагоналей квадрата.

Дата добавления: 2014-10-23