Дано Решение

; ; . 2)

	А

 

)

Рис. 16

1) Размер заряженного тела – длина нити , соизмерим с расстоянием от нити до исследуемой точки поля А, следовательно, заряд нити не является точечным. В таких случаях мысленно разделяют заряд нити на элементарные заряды и суммируют создаваемые ими в точке А поля напряженностью (рис. 16).

Чтобы определить направление векторов в точке А, мысленно поместим в эту точку пробный положительный заряд и покажем векторы сил , действующих со стороны элементарных зарядов нити на пробный заряд. Векторы направлены по линии, соединяющей заряды , а векторы , следовательно, все бесконечно малые векторы напряженности полей элементарных зарядов нити направлены вдоль оси , т. е. параллельны друг другу.

Результирующий вектор , согласно принципу суперпозиции:

, (1)

в этом случае направлен вдоль оси , а его модуль равен сумме модулей складываемых векторов:

, (2)

где напряженность поля , создаваемого точечным зарядом , который находится на участке бесконечно малой длиной , определяется формулой

(3)

Здесь величина заряда , где – линейная плотность заряда нити; – расстояние от заряда до исследуемой точки поля А.

Подставим формулу (3) в уравнение принципа суперпозиции (2), заменяя элемент длины участка нити равной ему величиной , – бесконечно малым приращением переменной . Определим пределы интегрирования по этой переменной. В уравнении (2) суммируются поля напряженностью всех элементарных зарядов нити , начиная с расположенного на расстоянии от точки поля А и заканчивая зарядом, находящимся на другом конце нити, – на расстоянии от исследуемой точки. Проинтегрируем в указанных пределах:

;

. (4)

Проверим полученную расчетную формулу путем экстраполяции зависимости (4): увеличим расстояние от конца нити до точки А так, чтобы ; при этом условии заряженную нить можно принять за точечный заряд, а в формуле (4) полагать расстояние , вследствие малости второго слагаемого. Таким образом, из формулы (4) получаем величину , равную напряженности поля, создаваемого точечным зарядом в точке поля, находящейся на расстоянии от заряда. Следовательно, полученная формула (4) верна.

Вычисляем напряженность поля нити в точке А по формуле (4):

.

2) Рассчитаем потенциал электростатического поля в точке А, используя принцип суперпозиции: суммируя бесконечно малые величины потенциала полей, создаваемых элементарными зарядами :

;

(5)

Полученную формулу (5) также проверим на предельный случай точечного заряда: нить на расстоянии ; при этом используем формулу приближенных вычислений , так как . Подставляя это значение логарифма в выражение (5) получаем формулу в виде – как для потенциала поля, созданного точечным зарядом . Следовательно, полученная формула (5) верна.

Вычисляем по формуле (5) потенциал поля в заданной точке А:

.

Задача 8. Электростатическое поле создается нитью длиной , с зарядом , равномерно распределенным по длине. Определите напряженность и потенциал поляв точке А (рис. 17), находящейся на расстоянии от нити и равноудаленной от ее концов.

Дата добавления: 2014-10-23