Побудова та аналіз однофакторної економетричної моделі

Приклад 1.1. На основі даних про роздрібний товарообіг і доходи населення у деякому населеному пункті за 10 років побудувати економетричну модель роздрібного товарообігу. Дати загальну характеристику достовірності моделі та зробити висновки.

Вихідні дані та елементарні перетворення цих даних для побудови моделі наведені в табл. 1.2.

Таблиця 1.2

Вихідні дані

№ п/п
					16,68	0,102
					18,32	0,1
					19,14	0,018
					19,95	0,002
					21,59	0,349
					22,41	0,349
					24,05	0,002
					24,86	0,018
					25,68	0,1
					27,32	0,102
Сума						1,145

Розв’язання:

1. Ідентифікуємо змінні: – роздрібний товарообіг (залежна змінна); – доходи населення (незалежна змінна).

2. Нехай специфікація моделі визначається лінійною функцією; вона має такий вигляд:

,

де –– параметри моделі; –– стохастична складова, залишки.

3. Оцінимо параметри моделі за методом 1МНК. Для цього запишемо систему нормальних рівнянь:

–– кількість спостережень.

Підставимо в цю систему величини , які розраховані на основі вихідних даних табл. 1.1; тоді система набуде такого вигляду:

Розв’яжемо цю систему відносно невідомих параметрів :

.

Таким чином, економетрична модель запишеться так:

.

4. Розрахуємо дисперсії залежної змінної та залишків:

5. Визначимо коефіцієнти детермінації та кореляції:

Оскільки коефіцієнт детермінації , це свідчить, що варіація обсягу роздрібного товарообігу на 98,96% визначається варіацією доходів населення. Коефіцієнт кореляції характеризує тісний зв’язок між цими соціально-економічними показниками. Величини R ² і r для однофакторної економетричної моделі свідчать про її достовірність, якщо вони наближаються до одиниці.

6. Знайдемо матрицю помилок C (матрицю, обернену до матриці системи нормальних рівнянь):

7. Визначимо стандартні помилки оцінок параметрів моделі, враховуючи дисперсію залишків:

Порівняємо стандартні помилки оцінок параметрів моделі з величиною цих оцінок.

У теорії економетричних досліджень прийнято вважати, що оцінка параметру моделі є незміщеною, якщо відношення стандартної помилки оцінки до її абсолютної величини не перевищує 30 відсотків. В результаті визначимо, що стандартна помилка оцінки параметру становить 3,24% абсолютного значення цієї оцінки (0,818), що свідчить про незміщеність даної оцінки параметру моделі. Стандартна помилка оцінки параметру становить 33,83% абсолютного значення цієї оцінки (1,948), а це означає, що даний параметр може мати зміщення, яке зумовлюється невеликою сукупністю спостережень (n = 10).

Висновки. Економетрична модель кількісно описує зв’язок роздрібного товарообігу і доходів населення.

Параметр характеризує граничну величину витрат на купівлю товарів у роздрібній торгівлі, коли дохід збільшується на одиницю, тобто при збільшенні доходів на одиницю обсяг роздрібного товарообігу зростає на 0,818 одиниці .

Визначимо коефіцієнт еластичності роздрібного товарообігу залежно від доходів населення:

.

На основі коефіцієнта еластичності можна стверджувати, що при збільшенні доходів населення на один процент роздрібний товарообіг зросте на 0,9115%.

Приклад 1.2. На основі даних про відвідування занять школярами та їх успішність у школах м. Чернігова побудувати економетричні моделі витрат на харчування: лінійну, параболічну, показникову. За принципом мінімальності незміщеного стандартного відхилення вибрати найбільш адекватну економетричну модель.

Таблиця 1.3

Дані до задачі

№ п/п	Відсоток відвіданих школярем уроків, %	Середній рівень знань школяра, балів
	65,0	4,50
	67,5	4,70
	70,0	4,85
	72,5	5,25
	75,0	5,75
	77,5	6,25
	80,0	6,45
	82,5	6,85
	85,0	7,30
	87,5	8,10
	90,0	8,75
	92,5	9,45
	95,0	10,20
	97,5	10,85
	100,0	11,25

Розв’язання:

Ідентифікуємо змінні: – середній рівень знань (залежна змінна); – відсоток відвіданих уроків (незалежна змінна).

Побудуємо емпіричний точковий графік.

Рисунок 1.1 – Емпіричний точковий графік (діаграма розсіяння)

Аналізуючи рисунок 1.1, зробимо висновок, що в якості аналітичної залежності можна обрати одну з наступних функцій:

– лінійну: ;

– параболу другого порядку ;

– показову: .

Застосуємо метод МНК для визначення параметрів рівняння регресії.

Для лінійної моделі система нормальних рівнянь має вигляд ( –– кількість спостережень):

(1.1)

Для параболи другого порядку: система нормальних рівнянь має вигляд:

(1.2)

Для знаходження параметрів показової моделі застосуємо прийом, який в економетрії носить назву лінеаризація.

Логарифмуємо обидві частини рівності . Отримаємо:

.

Остання формула задає лінійну залежність від змінної .

Отже, система нормальних рівнянь для показової функції має вигляд:

(1.3)

Складемо розрахункову таблицю для обчислення коефіцієнтів систем нормальних рівнянь (1.1) – (1.3) (таблиця 1.4).

Таблиця 1.4

Розрахункова таблиця для обчислення коефіцієнтів систем нормальних рівнянь

№ п/п
		4,5				292,5	19012,5	1,5040774	97,76503079
	67,5	4,7	4556,25	307546,88	20759414,1	317,25	21414,375	1,54756251	104,4604693
		4,85				339,5		1,5789787	110,5285093
	72,5	5,25	5256,25	381078,13	27628164,1	380,625	27595,3125	1,65822808	120,2215356
		5,75				431,25	32343,75	1,74919985	131,1899891
	77,5	6,25	6006,25	465484,38	36075039,1	484,375	37539,0625	1,83258146	142,0250634
		6,45						1,86408013	149,1264105
	82,5	6,85	6806,25	561515,63	46325039,1	565,125	46622,8125	1,92424865	158,7505138
		7,3				620,5	52742,5	1,98787435	168,9693196
	87,5	8,1	7656,25	669921,88	58618164,1	708,75	62015,625	2,09186406	183,0381054
		8,75				787,5		2,1690537	195,214833
	92,5	9,45	8556,25	791453,13	73209414,1	874,125	80856,5625	2,24601474	207,7563636
		10,2						2,32238772	220,6268334
	97,5	10,85	9506,25	926859,38	90368789,1	1057,875	103142,8125	2,38416508	232,4560953
		11,25						2,42036813	242,0368129
Сума	1237,5	110,5	103843,75	8855859,375	766706523,4	9469,375	823760,3125	29,2806846	2464,165885

Підставляємо розраховані коефіцієнти у системи нормальних рівнянь:

- для лінійної моделі:

- для параболічної моделі:

- для показової моделі:

Розв’язуючи ці системи рівнянь, знаходимо параметри рівнянь регресії (таблиця 1.5).

Таблиця 1.5

Параметри рівнянь регресії

Лінійна функція	Парабола 2-го порядку	Показова функція
a0=	-9,28065	a0=	11,990231	а0=	0,7154622
a1=	0,2017857	a1=	-0,322865	а1=	1,0281074
		a2=	0,0031797

Маємо моделі:

- лінійна модель: ;

- парабола 2-го порядку: .

- показова модель: .

Розрахуємо теоретичні рівні по кожній моделі, а також квадрати залишків та їх суми (табл.. 1.6).

Таблиця 1.6

Розрахунок стандартних помилок апроксимації

№ п/п		Лінійна модель	Параболічна модель	Показова модель
	4,5	3,835417	0,441671	4,4382353	0,003815	4,335997	0,0269
	4,7	4,339881	0,1296857	4,6843487	0,000245	4,647134	0,00279
	4,85	4,844345	3,198E-05	4,9702085	0,01445	4,980598	0,01706
	5,25	5,34881	0,0097633	5,2958145	0,002099	5,337989	0,00774
	5,75	5,853274	0,0106655	5,6611668	0,007891	5,721026	0,00084
	6,25	6,357738	0,0116075	6,0662654	0,033758	6,131549	0,01403
	6,45	6,862202	0,1699108	6,5111102	0,003734	6,571529	0,01477
	6,85	7,366667	0,2669444	6,9957014	0,021229	7,04308	0,03728
	7,3	7,871131	0,3261906	7,5200388	0,048417	7,548469	0,06174
	8,1	8,375595	0,0759527	8,0841225	0,000252	8,090123	9,8E-05
	8,75	8,88006	0,0169155	8,6879525	0,00385	8,670644	0,0063
	9,45	9,384524	0,0042871	9,3315288	0,014035	9,292822	0,0247
	10,2	9,888988	0,0967284	10,014851	0,03428	9,959645	0,05777
	10,85	10,39345	0,2084357	10,73792	0,012562	10,67432	0,03086
	11,25	10,89792	0,1239627	11,500735	0,062868	11,44027	0,0362
Сума	110,5	110,5	1,892753	110,5	0,263487	110,5	0,33908
		0,355223		0,132536		0,150352

У останньому рядку таблиці для кожного з трьох рівнянь розрахована стандартна похибка апроксимації:

Отримані значення стандартної похибки апроксимації є досить низькими, що свідчить про правильність обраного типу залежності та високу достовірність розрахованих коефіцієнтів.

Найменшою є похибка, розрахована для параболічної моделі, тому ця модель є більш достовірною.

Будуємо лінію регресії (графік параболічної моделі) на кореляційному полі.

Рисунок 1.2. – Лінія регресії на кореляційному полі

Висновок:

Таким чином, за результатами проведених розрахунків, адекватною моделлю визнана параболічна функція, яка дає найменші похибки.

Дата добавления: 2014-10-23