Теорема про рух центра мас системи. Закон збереження руху центра мас

У ряді випадків для визначення характеру руху системи (особливо твердого тіла) необхідно знати закон руху її центра мас.

Давайте знайдемо цей закон. Для цього звернемось до диференціальних рівнянь руху системи і додамо почленно ліві й праві частини, дістанемо:

Знаючи, що або (див. лекц.№29), візьмемо із обох частин другу похідну за часом:

або

де – прискорення центра мас системи.

Оскільки за властивістю внутрішніх сил , то остаточно:

Це рівняння і виражає теорему про рух центра мас системи: добуток маси системи на прискорення її центра мас дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Або ще теорема звучить так: центр мас системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи і до якої прикладені всі зовнішні сили системи.

Проектуючи цю рівність на координатні осі, дістанемо:

Це є диференціальні рівняння руху центра мас системи.

Із теореми маємо такі висновки:

1.Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

то

=0 або .

Отже, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то центр мас цієї системи рухається зі сталою за модулем і напрямком швидкістю, тобто рівномірно і прямолінійно.

2.Якщо сума всіх зовнішніх сил не дорівнює нулю, але сума їх проекцій на якусь вісь (нехай Ox) дорівнює нулю:

тоді

або .

Отже, якщо сума проекції всіх зовнішніх сил, що діють на систему, на яку-небудь вісь дорівнює нулю, то проекція швидкості центра мас на цю вісь буде величиною сталою.

Ці результати виражають закон збереження руху центра мас системи.

Застосовуючи теорему про рух центра мас системи, можна знайти закон руху її центра мас, якщо відомі зовнішні сили, і навпаки, визначити головний вектор зовнішніх сил, знаючи закон руху центра мас.

3. Диференціальні рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі

Розглянемо питання про застосування загальних теорем динаміки до задач руху абсолютно твердого тіла. Оскільки вивчення поступального руху твердого тіла зводиться до задач динаміки точки, то розпочнемо з обертального руху твердого тіла.

Нехай на тверде тіло, яке має нерухому вісь обертання z (рис.1), діє система заданих сил , ,..., . Одночасно на тіло діють реакції підшипників і . Щоб виключити із рівняння руху ці наперед невідомі сили, скористаємось теоремою моментів відносно осі z. Оскільки моменти сил і відносно z дорівнюють нулю, то дістанемо:

, де

Будемо називати величину M_z обертальним моментом. Підставляючи в попередню рівність значення , маємо:

або

Це рівняння називається диференціальним рівнянням обертального руху твердого тіла. Із нього виходить, що добуток моменту інерції тіла відносно осі обертання на кутове прискорення дорівнює обертальному моменту:

При даному M_z чим більший момент інерції тіла, тим менше кутове прискорення.

Часткові випадки:

1. Якщо M_z=0, то ω=const, тобто тіло обертається рівномірно.

2. Якщо M_z=const, то ε=const, тобто тіло обертається рівнозмінно.

4. Диференціальні рівняння плоскопаралельного руху твердого тіла

Положення тіла, яке здійснює плоскопаралельний рух, визначається в будь-який момент часу положенням полюса і кутом повороту навколо нього. Задачі динаміки розв’язуються найпростіше, якщо за полюс обрати центр мас С тіла (рис.2) і визначити положення тіла координатами x_c, y_c і кутом φ.

Нехай на тіло діють зовнішні сили , ,..., . Тоді рівняння руху точки С знайдемо із теореми про рух центра мас:

а обертальний рух навколо центра С визначається рівністю:

.

У проекціях на координатні осі дістанемо рівняння:

або

Ці рівняння є диференціальними рівняннями плоско-паралельного руху твердого тіла.

За їх допомогою можна за заданими силами визначити закон руху тіла або, знаючи закон руху тіла, знайти головний вектор і головний момент сил.

У випадку невільного руху, коли траєкторія центра мас відома, рівняння руху точки С зручніше скласти в проекціях на дотичну τ і головну нормаль n до траєкторії.

Тоді дістанемо:

де ρ – радіус кривизни траєкторії центра мас.

Якщо рух невільний, то в праві частини рівняння увійдуть ще і реакції в'язі.

Питання для самоконтролю

1.Записати диференціальні рівняння руху системи.

2.Сформулювати та довести теорему про рух центра мас системи.

3.Записати диференціальні рівняння руху центра мас системи.

4.Викласти закон збереження руху центра мас.

5.Вивести диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла.

6.Записати диференціальні рівняння плоскопаралельного руху тіла в координатній і натуральній формах.

Лекція №33

Тема: “Загальні принципи механіки”

Дата добавления: 2014-10-23