Дифференцирование функции одной переменной

Точки разрыва функции и их классификация

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 8. Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x ₀ , то функции с × f (x) (c=const), f (x) ± g (x), f (x) × g (x) и , если g (x) ¹ 0, также непрерывны в точке x _0.

Теорема 9. Если функция u = u (x) непрерывна в точке x ₀ и функция y = f (u) непрерывна в точке u ₀= u (x ₀), то сложная функция y = f (u (x)) непрерывна в точке x ₀.

Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

Определение 5. Точка x ₀ называется точкой разрыва функции f (x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f (x).

Классификация точек разрыва

Определение 6. Точка x ₀ называется точкой устранимого разрыва функции f (x), если предел функции в этой точке существует, но f (x) в точке x ₀ либо не определена, либо имеет значение f (x ₀), не совпадающее с найденным пределом:

f (x ₀-0)= f (x ₀+0) ¹ f (x ₀).

Определение 7. Точка x ₀ называется точкой разрыва первого рода функции f (x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, то есть:

f (x ₀-0) ¹ f (x ₀+0).

Определение 8. Точка x ₀ называется точкой разрыва второго рода функции f (x), если в этой точке f (x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.

1.

Решение. На промежутке (-∞;-1) f (x)= - x +1, на (-1;1) и на (1;+∞) f (x) = x -1.

На этих промежутках f (x) элементарная функция, непрерывна при всех x, принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в точках x = -1 и x =1.

1)

2)

Получили, что f (-1-0) ¹ f (-1+0) => x = -1 – точка разрыва f (x) I рода.

3)

4)

Получили, что f (1-0) = f (1+0) = f (1) = 0 => x = 1 – точка непрерывности функции f (x).

Ответ: f (x) непрерывна на (-∞;-1) и на (-1;+∞), точка x = -1 – точка разрыва I рода.

2. f (x) =

Решение. На промежутках (-∞;0) и на (0;+∞) f (x) непрерывна. Исследуем точку x =0 Ï D(f).

1)

2)

=> x =0 – точка разрыва f (x) II рода.

Дата добавления: 2014-10-15