Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Таблица производных основных элементарных функций

1)

Вывод: ;

2) ;

Вывод: ;

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4)

Вывод: так как ln x = lo g _e x, то, используя производную, для (lo g_a x), можно записать:

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, D y = y (x +D x) - y (x) = c-c = 0

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' =0

2. (x ^a) = a× x ^a-1

3. (a^x)' = a^x ×ln a, (a >0, a # 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (lo g_ax)' = , (a >0; a # 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = - sin x

9. (t gx)' =

10. (ct gx)' = -

11. (a rcsin x)' =

12. (a rccos x)' = -

13. (a rct gx)' =

14. (a rcct gx)' = -

Определение 3. Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и ее приращение в этой точке можно представить в виде: D x = A ×D x +a(D x)×D x, где A = A (x) – не зависит от D x; a(D x) – бесконечно малая при D x ®0, то есть .

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f (x) дифференцируема в точке x ÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' (x). При этом

f' (x) = A.

Дата добавления: 2014-10-15