Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки x0 (рис.5)

Рассмотрим график функции y = f (x) в окрестности фиксированной точки x ₀ (рис.5).

Рис. 5

Точка M₀(x ₀; y (x ₀)) – фиксированная точка графика y = f (x). Точка M(x ₀+D x; y (x ₀+D x)) при различных значениях D x – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом D x ®0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рассмотрим D M₀M A: t g a_сек= , a_сек = угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при D x ®0:

То есть y ' (x ₀) = t g a_кас => частное значение производной функции y = f (x) в точке x ₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f (x) в точке M₀(x ₀; y (x ₀)).

Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x ₀; y ₀) с известным угловым коэффициентом K_кас = y '(x ₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f (x) в точке M₀(x ₀; f (x ₀)):

y = f (x ₀) + f ' '(x ₀) × (x - x ₀)

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x ₀; f (x ₀)):

y = f (x ₀) - ,

используя условие перпендикулярности прямых: K_норм = -.

Дата добавления: 2014-10-15