Линейные операторы и матрицы

Определение. Оператор А называют линейным оператором, если он подчиняется требованиям: а – аддитивности А(х₁+х₂)=А(х₁)+А(х₂) и б – однородности А(кх)=кА(х), где х₁, х₂ из ЛП и к – действительное.

Примером может служить производная. Вторым примером может служить матрица. В самом деле, пусть дан оператор А и вектор х из ЛП. Пусть в ЛП задан базис { e_i }. Тогда воздействуем оператором А на элемент х. Получим новый вектор (элемент) у=. Т.к. А по условию линеен, тоон установит линейную же связь между координатами векторов х и у. Т.е. получаем соотношения

.

Или фактически у= х. Это значит оператор А и матрица А – одно и то же. Такую матрицу называют матрицей отображения ЛП в себя.

Пример 1.8. Оператор зеркального отражения в оси.

Определим его так: любая Р на плоскости соответствует Р’ в той же плоскости так, что расстояние Р от прямой l равно расстоянию P’ от той же прямой; обе точки лежат на одном перпендикуляре к этой прямой, но по разные стороны от него.

Рис 1. Зеркальное отражение в оси.

Руководствуемся Рис1. Пусть имеем базис е₁ и е₂. Тогда легко получить соотношение между координатами точек (элементов пространства) Р(х₁,х₂) и P’(у₁,у₂):

Отсюда следует , что дает у=х. Матрицей (оператором) отражения в оси будет матрица А=. Ее характерный признак – она симметрическая.

Пример Оператор поворота плоскости на угол ф.

Определим его так: любая Р плоскости переходит в Р’ в той же плоскости путем поворота вектора ОР на угол ф до совпадения векторов ОР и ОР’. Руководствуемся Рис 1.2. Пусть имеем базис е₁ и е₂. Тогда легко получить соотношение между координатами точек (элементов пространства) Р(х₁,х₂) и P’(у₁,у₂), исходя из таких действий. Пусть ОР=; х = = =

Рис 2. Поворот плоскости на угол ф.

Тогда OP’=y=== И т.к. =, то получаем окончательную связь между координатами векторов

. Т.е. оператором поворота будет матрица поворота вида - симметрическая, невырожденная с определителем, равным 1.

Дата добавления: 2014-10-23