![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод Гаусса
Следует отметить, что метод Крамера является очень трудоемким по количеству вычислений и требует порядка Рассмотрим систему линейных уравнений общего вида (1). Пусть для определенности где верхний индекс в скобках означает новые коэффициенты, полученные после первого шага. Для удобства записи будем оперировать расширенной матрицей системы, отделяя в ней вертикальной чертой столбец свободных членов. Итак, после первого шага, содержащего
Второй шаг заключается в том, что теперь второе уравнение системы или вторая строка матрицы используется для аналогичных элементарных преобразований строк с третьей по
где верхний индекс означает новые коэффициенты. В случае если элемент Продолжаем этот процесс аналогичным образом до тех пор, пока не дойдем до последней
Последние
Эти уравнения могут появляться, если соответствующие уравнения исходной системы (1) представляют собой линейные комбинации других уравнений этой системы. Таким образом метод Гаусса, позволяет на определенном шаге установить возможную несовместность исходной системы линейных уравнений или выявить и удалить уравнения, являющиеся линейными комбинациями других уравнений системы (1), если она совместна. Пусть система (1) совместна, тогда все правые части уравнений (2) равны нулю, и после удаления нулевых уравнений в эквивалентной системе и нулевых строк в расширенной матрице получаем матрицу специфического ступенчатого вида, ранг которой равен r. Все элементы этой матрицы, стоящие слева или ниже элементов
Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений ранга
Система уравнений (4) уже полностью подготовлена к нахождению решения, процесс которого осуществляется снизу вверх, т.е. от последнего уравнения к первому. Переход от системы (1.1) к эквивалентной ей системе (4) называется прямым ходом, а нахождение неизвестных из системы (4) обратным ходом метода Гаусса. Далее последовательность действий аналогична изложенной выше. Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение. Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие преобразования методом Гаусса. Имеем Последняя нулевая строка в расширенной матрице, полученной после 3-го шага, появилась из-за того, что в исходной системе четвертого уравнения является суммой 1-го и 3-го уравнений. Система совместна, и после удаления нулевой строки заключительный вид расширенной матрицы соответствует системе трех уравнений с четырьмя неизвестными (ранг системы меньше числа неизвестных). Полагая Из этой системы обратным ходом метода Гаусса находим
Данная система уравнений имеет бесконечное множество решений, поскольку
Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 398; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |