Уравнение 1-й степени на плоскости

Пусть в декартовой системе координат на плоскости задано уравнение

Ax+By+C=0. (6.1)

Выясним соответствующий ему геометрический образ.

Если A 0, B 0, то из (6.1) получаем y=kx+b. Известно, что это уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если A =0, B 0, то из (6.1) получаем х=х_о. Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Ох.

Если A 0, B =0, то из (6.1) получаем у= у_о. Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Оу.

Т.о. уравнение прямой для любых коэффициентов А и В. Само (6.1) называют – общее уравнение прямой на плоскости.

Для других нужд в аналитической геометрии используют уравнения прямой, записанное в других видах – шаблоны. Каждый из таких шаблонов является решением задачи тип 2 и существенно упрощает решения более крупных задач. Следует иметь представления об этих шаблонах и знать возможные переходы между ними(преобразование одного шаблона в другой).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку Мо(х_о;у_о) перпендикулярно данному вектору (А;В). Его легко получить решая задачу типа 2: вектор М_о ортогонален вектору N. А потому имеем в координатной форме условие ортогональности А(х-х_о)+В(у-у_о)=0. Переход от этого уравнения к (6.1) прост – раскрыть скобки и привести подобные. И тогда становится ясно, что числа А и В в (6.1) – координаты нормального вектора к прямой. А число С – характеризует точку, через которую проходит прямая.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Мо(х_о;у_о) и

М₁(х₁;у₁). Легко получается при решении задачи типа 2, в которой использовано условие коллинеарности векторов М Мо и Мо М₁. Получаем , где m,n – координаты вектора .

Каноническое уравнение прямой – прямой, которая проходит через данную точку Мо(х_о;у_о) параллельно вектору (m;n).

Нормальное уравнение прямой. xCos+ySin-p=0.

Каждый из этих шаблонов используют при решении разных задач. Например, требуется вычислить расстояние от точки Мо(х_о;у_о) до прямой Ax+By+C=0. Для решения используем Рис 3. Пусть - нормаль, а - единичная нормаль к прямой Ах+Ву+С=0. Тогда расстояние d от Мо до прямой можно найти так:

Мо М₁ =d====

Рис 3. К расстоянию от точки до прямой

Дата добавления: 2014-10-23