Типовые задачи на плоскость в пространстве

1.Разные виды уравнений и переходы от одного к другому виду.

2.Расстояние от точки до плоскости.

3.Угол между плоскостями (и взаимное расположение плоскостей).

4.Точка пересечения плоскостей.

5.Пучок плоскостей и др. более сложные задачи.

Комментарий. Следует запомнить жестко наиболее простую для аналитической геометрии ситуацию: для поиска уравнения плоскости следует указать точку, через которую плоскость проходит, и вектор, нормальный плоскости.

Прямую линию в пространстве в аналитической геометрии задают в виде пересечения двух плоскостей или .

Можно того же результата добиться, задав прямую проходящей через две заданные точки Мо(х_о;у_о,z_о) и М₁(х₁;у₁;z₁). Тогда из условий параллельности (коллинеарности) векторов ММо и МоМ₁ получим . Если же обозначить вектор МоМ₁= (m;n;p), то получим канонические уравнения прямой в пространстве . В последних двух способах задания прямой в пространстве “потеряны” уравнения двух плоскостей. Комментарием к этому может служить такое указание – мы имеем равенство трех отношений. Так что, фактически, мы имеет даже три плоскости вместо двух (если сравнивать по два разных отношения, то всегда получится уравнение первого порядка в пространстве – уравнение плоскости). Особенностями этих плоскостей будет следующее – каждая из них является проектирующей данную прямую на некоторую координатную плоскость (в каждом уравнении плоскости только две переменные – значит плоскость перпендикулярна координатной плоскости).

Важно уметь делать переход от одного вида уравнения к другому и понимать смысл этих математических действий в геометрии.

Пример 6.2. Найти, если таковая имеется, точку пересечения трех плоскостей

Решение. Сразу видно, что ранг основной и расширен ной матрицы не больше 3 и не меньше 2. Для уточнения вычислим ==0.

Т.о. r(A)=2.

Для расширенной матрицы имеем =0.

Т.е. r(A)’=3.

Система противоречива – точки пересечения нет. Геометрически это говорит в данном случае о такой ситуации: параллельных плоскостей нет; следовательно плоскости попарно пересекаются и образуют подобие треугольной призмы.

При взаимном расположении прямой и плоскости следует учитывать, что: плоскость характеризуется нормалью и точкой Мо(х_о;у_о,z_о) на плоскости, а прямая – направляющим вектором (m;n;p) и точкой М₁(х₁;у₁;z₁) на прямой.

Так, если плоскость параллельна прямой, то имеем всегда =0, а если плоскость перпендикулярна прямой, то всегда коллинеарен. Если требуется найти точку пересечения прямой и плоскости, то систему

можно (и даже лучше) решать так: последнее отношение приравнять параметру t; затем выразить через параметр переменные x,y,z (x=mt+ х_о, e=nt+y_о, z=pt+z_о; затем найденное подставить в уравнение плоскости и найти значение параметра t для точки пересечения; после этого вычислить координаты точки пересечения через значение параметра.

Дата добавления: 2014-10-23