Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Частные производные и дифференциалы




Пусть дана z=f(x;y). Дадим переменной х приращение х. Тогда функция z=f(x;y) получит некоторое приращение только за счет приращения х. Обозначим его значком хz и назовем частным приращением.

Определение. Частной производной от функции по данному аргументу называют предел отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если последнее стремится к нулю.

Символически это факт записывают по разному: z’x; f’x; ; ; и т.д. Обратите внимание – в третьей и четвертой записях не записано отношение, а записан один символ! Читается всегда так ”частная производная от … по …”. Неверно читать “ дэ от … по дэ…”.

Распространим на частую производную известный геометрический ее смысл – частная производная характеризуют скорость изменения функции в направлении выбранной координатной оси.

Теорема(необходимое условие существования ЧП). Если f(x;y) имеет ЧП в данной точке, то функция непрерывна в этой точке.

Определение. Главная часть частного приращения функции, линейная относительно частного приращения аргумента называется частным дифференциалом функции и обозначается dxz= f’xх или dxz= f’x.

Пусть дана f(x;y). При переходе от точки М к точке Мо эта функция получит приращение z, которое в отличие от частного следует называть полным приращением функции.

Определение. Если z удается представить в виде Ах+Ву+х+у, то говорят, что z=f(x;y) дифференцируема, а выражение Ах+Ву называют полным дифференциалом и обозначают dz.

Выведем формулу для вычисления полного дифференциала. Имеем z= =f(x+х;y+у)- f(x;y)= f(x+х;y+у) - f(x;y+у) + f(x;y+у) - f(x;y)= f(x+х;y+у)- f(x;y+у) +(f(x;y+у)- f(x;y)). Для каждой разности применим формулу Лагранжа конечных отношений и получим z= f’x(C1;y+у)х+ f’y(x;C2)у, где точки C1 и C2 расположены на участках приращения переменных. Но, т.к. f’x(C1;y+у)= f’x(х;y) и f’y(x;C2) = f’у(х;y), то из связи пределов с бесконечно малыми получаем

z= f’x(х;y)х+ f’у(х;y)у+х+у

Отсюда видно, что dz = Ах+Ву= f’x(х;y)х+ f’у(х;y)у= f’x(х;y)dх+ f’у(х;y)d у. Т.е. полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов.

Полный дифференциал удобно применять в вычислениях.

Пример. Вычислите приближенно 1,01 2,03. Решение. Подберем подходящую по виду функцию z=xy. Возьмем точку Мо достаточно близкую к точке М (1,01; 2,03) и такую, чтобы легко можно было вычислить значение функции в этой точке. Такой будет Мо (1;2). Тогда z(Мо)=1. При переходе от точки Мо к точке М функция получит некоторое приращение z, которое мы не знаем. Но можем вычислить приближенно, заменив полным дифференциалом dz(Mo). Получаем z=dz= f’x(х;y)х+ f’у(х;y)у. Найдем частные производные функции в точке Мо. f’x(Мо) = y xy-1 =1. f’y(Мо) =xylnx=0.

х=1,01-1=0,01; у=2,03-2=0,03. Получаем z=1(0,01)+0(0,03)=0,01. Окончательно 1,01 2,03 =1+0,01=1,01.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 376; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.